Determine uma equação para o plano tangente ao gráfico da função
no ponto indicado
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função $ f(x, y) = 4x^{2}y + y^{3} $ no ponto específico $ (1, 1, 5) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda em relação a cada variável.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais nos dão a inclinação da função nas direções desses eixos.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto dado $ (1, 1) $:
Para $ f_{x}(1, 1) $:
Para $ f_{y}(1, 1) $:
Passo 4
Com as derivadas parciais avaliadas, usamos a fórmula geral do plano tangente à superfície $ z = f(x, y) $ no ponto $ (a, b, f(a, b)) $:
Substituindo $ a = 1 $, $ b = 1 $, $ f(a, b) = 5 $, $ f_{x}(1, 1) = 8 $ e $ f_{y}(1, 1) = 7 $, temos:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação para deixar mais clara:
Resposta
A equação do plano tangente é $ z = 8x + 7y - 10 $.