Determine uma equação para o plano tangente ao gráfico da função f no ponto indicado
f(x, y)=4 x^2 y+y^3, (1,1, f(1,1))=(1,1,5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função $ f(x, y) = 4x^{2}y + y^{3} $ no ponto específico $ (1, 1, 5) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda em relação a cada variável.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais nos dão a inclinação da função nas direções desses eixos.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
f
E a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
x

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto dado $ (1, 1) $:
Para $ f_{x}(1, 1) $:
(1, 1)
Para $ f_{y}(1, 1) $:
fx(1, 1)

Passo 4

Com as derivadas parciais avaliadas, usamos a fórmula geral do plano tangente à superfície $ z = f(x, y) $ no ponto $ (a, b, f(a, b)) $:
z = f(x, y)
Substituindo $ a = 1 $, $ b = 1 $, $ f(a, b) = 5 $, $ f_{x}(1, 1) = 8 $ e $ f_{y}(1, 1) = 7 $, temos:
(a, b, f(a, b))

Passo 5

Vamos simplificar essa equação para deixar mais clara:
z - 5 = 8x - 8 + 7y - 7
z = 8x + 7y - 8 - 7 + 5
z = 8x + 7y - 10

Resposta

A equação do plano tangente é $ z = 8x + 7y - 10 $.

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