Resolva a equação de Ricatti dada:
d yd x=2 x^2+yx-2 y^2, y1=x

Passo 1

O enunciado apresenta a equação de Riccati
dydx = 2x^2 + yx - 2y^2,
e dá uma solução particular y1=x. Para resolver, vamos usar a substituição padrão para Riccati
y = y1 + 1v = x + 1v,
que transforma a equação não linear em uma equação linear em v(x).

Passo 2

Calculamos dydx em função de v. Como
y = x + v^-1,
temos
dydx = 1 - 1v^2dvdx

Passo 3

Substituímos y e tfracdydx na equação original. O lado direito é
2x^2 + x + v^-1x - 2l(x + v^-1r)^2 = 1 + 1v,x -4,xv - 2v^2,
logo a igualdade
1 - 1v^2dvdx = 1 + 1v,x -4xv - 2v^2
simplifica-se para
-,1v^2dvdx = 1v,x -4xv - 2v^2

Passo 4

Multiplicamos por -v^2 e reescrevemos como equação linear em v:
dvdx = -vx + 4x,v + 2,
ou seja
dvdx +l(-4x + tfrac1xr)v = 2
O fator integrante é
mu(x) = exp!l(!!integral(-4x + x^-1),dxr) = x,e^-2x^2

Passo 5

Multiplicando pela integrante, obtemos
ddxl(x,e^-2x^2,vr) =2x,e^-2x^2
Integrando ambos os lados:
x,e^-2x^2,v = integral 2x,e^-2x^2,dx = -tfrac12,e^-2x^2 + C,
de onde
x,v = -tfrac12 + C,e^2x^2, v = -12x + C,e^2x^2x

Passo 6

Voltando à substituição y = x + 1/v, temos
1v = 2x2C,e^2x^2 - 1,
portanto
y(x) = x + 2x2C,e^2x^2 - 1 = x,2C,e^2x^2 + 12C,e^2x^2 - 1

Resposta

y(x) = x,2C,e^2x^2 + 12C,e^2x^2 - 1,
onde C é constante arbitrária.

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