Escolhendo trajetórias convenientes (em ambos os itens), mostre que os limites abaixo não existem.
lim (x, y) (0,0) x^2 y e^xx^4+4 y^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
lim(x,y)to(0,0) x^2y,e^xx^4+4y^2
não existe. O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e a ideia é escolher trajetórias que levem a valores diferentes para a mesma expressão, provando que o limite não é único.

Passo 2

Considere a família de trajetórias dada por
y = k,x^2,
onde k é um parâmetro real constante. Quando xto0, fica claro que (x,y)to(0,0).

Passo 3

Substituindo y=kx^2 na expressão temos
x^2,(k x^2),e^xx^4+4,(k x^2)^2 =k,x^4,e^xx^4+4k^2x^4 =k,x^4,e^xx^4(1+4k^2) =k,e^x1+4k^2
Como xto0 faz e^xto1, esse quociente tende a
limxto0k,e^x1+4k^2 =k1+4k^2

Passo 4

Observamos que o valor do limite ao longo de y=kx^2 depende de k. Por exemplo:
- Se k=0, obtemos
01+0=0.
- Se k=1, obtemos
11+4= tfrac15.
Como esses dois valores são diferentes, não há valor único para a expressão quando (x,y)to(0,0).

Resposta

O limite não existe.

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