Escolhendo trajetórias convenientes (em ambos os itens), mostre que os limites abaixo não existem.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
não existe. O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e a ideia é escolher trajetórias que levem a valores diferentes para a mesma expressão, provando que o limite não é único.
Passo 2
Considere a família de trajetórias dada por
onde
é um parâmetro real constante. Quando
, fica claro que
.
Passo 3
Substituindo
na expressão temos
Como
faz
, esse quociente tende a
Passo 4
Observamos que o valor do limite ao longo de
depende de
. Por exemplo:
- Se , obtemos
.
- Se , obtemos
.
- Se
- Se
Como esses dois valores são diferentes, não há valor único para a expressão quando
.
Resposta
O limite não existe.