O potencial elétrico no ponto ( x, y, z ) é dado por: V(x, y, z)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, onde V é dado em volts e x, y e z em cm. Determine a taxa de variação instantânea de V em relação à distância em (1,2,3) na direção do:
eixo dos y;

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico
V(x,y,z)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
medido em volts, com x,y,z em centímetros. Pede para determinar a taxa de variação instantânea de V em relação à distância no ponto (1,2,3) na direção do eixo dos y.\n
Informações relevantes listadas:
  • A função V está definida por \displaystyle V(x,y,z)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  • O ponto onde vamos avaliar é (1,2,3).
  • A direção pedida é a direção do eixo dos y (vetor direção ao longo do eixo y, isto é, (0,1,0)).
  • Queremos a taxa de variação instantânea de V por unidade de distância, ou seja, a derivada direcional ao longo dessa direção (unidade: volts por centímetro).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática): a taxa de variação instantânea de uma função escalar multivariável V(x,y,z) na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é dada pelo produto escalar entre o gradiente de V e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}V=\nabla V\cdot\mathbf{u}.
Aqui \nabla V é o vetor dos parciais \left(\frac{\partial V}{\partial x},\frac{\partial V}{\partial y},\frac{\partial V}{\partial z}\right). Então a tarefa é:
  1. Calcular \nabla V (as derivadas parciais).
  2. Tomar \mathbf{u} como o vetor unitário na direção do eixo y.
  3. Fazer o produto escalar e avaliar em (1,2,3).

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais. Para simplificar os cálculos, defina
r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
Então podemos escrever V(x,y,z)=x\,r^{-2}. Usamos aqui a regra do produto e a regra da cadeia para derivar.
Derivando em relação a x:
\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(x\,r^{-2}\big) = 1\cdot r^{-2} + x\cdot\frac{\partial}{\partial x}\big(r^{-2}\big).
Agora \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\big(r^{-2}\big) = -2\,r^{-4}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\big(r^{2}\big) = -2\,r^{-4}\cdot 2x = -4x\,r^{-4}. Atenção: houve um passo fácil de confundir — como r^{-2}=(r^{2})^{-1}, a derivada de r^{-2} em relação a x é -1\cdot(r^{2})^{-2}\cdot 2x = -2x\,r^{-4}. (Corrigindo o raciocínio: usar diretamente r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} \partial(r^{-2})/\partial x = -2x\,r^{-4}.)
Reavaliando corretamente:
\frac{\partial V}{\partial x}=r^{-2} + x\cdot(-2x)\,r^{-4} = \frac{r^{2}-2x^{2}}{r^{4}}.
Derivando em relação a y (aqui x é tratado como constante):
\frac{\partial V}{\partial y} = x\cdot\frac{\partial}{\partial y}\big(r^{-2}\big) = x\cdot(-2y)\,r^{-4} = -\frac{2xy}{r^{4}}.
Derivando em relação a z:
\frac{\partial V}{\partial z} = x\cdot(-2z)\,r^{-4} = -\frac{2xz}{r^{4}}.
Assim o gradiente é
\nabla V=\left(\frac{r^{2}-2x^{2}}{r^{4}},\; -\frac{2xy}{r^{4}},\; -\frac{2xz}{r^{4}}\right).

Passo 4

Agora avaliamos o gradiente no ponto (1,2,3). Primeiro calcule r^{2} em (1,2,3):
r^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}=1+4+9=14.
Logo r^{4}=14^{2}=196.
Substituindo em cada componente:
\frac{\partial V}{\partial x}\Big|_{(1,2,3)}=\frac{14-2\cdot1^{2}}{196}=\frac{14-2}{196}=\frac{12}{196}=\frac{3}{49},
\frac{\partial V}{\partial y}\Big|_{(1,2,3)}=-\frac{2\cdot1\cdot2}{196}=-\frac{4}{196}=-\frac{1}{49},
\frac{\partial V}{\partial z}\Big|_{(1,2,3)}=-\frac{2\cdot1\cdot3}{196}=-\frac{6}{196}=-\frac{3}{98}.
Portanto
\nabla V(1,2,3)=\left(\frac{3}{49},\; -\frac{1}{49},\; -\frac{3}{98}\right).

Passo 5

A direção pedida é a do eixo dos y. O vetor direção ao longo do eixo y é (0,1,0), que já é unitário. Assim o vetor unitário \mathbf{u} é
\mathbf{u}=(0,1,0).
A derivada direcional é o produto escalar \nabla V(1,2,3)\cdot\mathbf{u}. Calculando:
D_{\mathbf{u}}V(1,2,3)=\left(\frac{3}{49},-\frac{1}{49},-\frac{3}{98}\right)\cdot(0,1,0) =0\cdot\frac{3}{49}+1\cdot\left(-\frac{1}{49}\right)+0\cdot\left(-\frac{3}{98}\right) =-\frac{1}{49}.
Interpretação: isso significa que, ao mover-se a partir de (1,2,3) na direção positiva do eixo y, o potencial V diminui à taxa de \tfrac{1}{49} volt por centímetro. Fica a dica: sempre verifique se o vetor direção é unitário — aqui já era — e aplique \nabla V\cdot\mathbf{u}.

Resposta

-\dfrac{1}{49}\\ \text{V/cm}

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