O potencial elétrico no ponto ( x, y, z ) é dado por: V(x, y, z)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, onde V é dado em volts e x, y e z em cm. Determine a taxa de variação instantânea de V em relação à distância em (1,2,3) na direção do:
eixo dos y;
Passo 1
O enunciado dá o potencial elétrico
V(x,y,z)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
medido em volts, com x,y,z em centímetros. Pede para determinar a taxa de variação instantânea de V em relação à distância no ponto (1,2,3) na direção do eixo dos y.\n
Informações relevantes listadas:
A função V está definida por \displaystyle V(x,y,z)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
O ponto onde vamos avaliar é (1,2,3).
A direção pedida é a direção do eixo dos y (vetor direção ao longo do eixo y, isto é, (0,1,0)).
Queremos a taxa de variação instantânea de V por unidade de distância, ou seja, a derivada direcional ao longo dessa direção (unidade: volts por centímetro).
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicação didática): a taxa de variação instantânea de uma função escalar multivariável V(x,y,z) na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é dada pelo produto escalar entre o gradiente de V e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}V=\nabla V\cdot\mathbf{u}.
Aqui \nabla V é o vetor dos parciais \left(\frac{\partial V}{\partial x},\frac{\partial V}{\partial y},\frac{\partial V}{\partial z}\right). Então a tarefa é:
Calcular \nabla V (as derivadas parciais).
Tomar \mathbf{u} como o vetor unitário na direção do eixo y.
Fazer o produto escalar e avaliar em (1,2,3).
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais. Para simplificar os cálculos, defina
r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
Então podemos escrever V(x,y,z)=x\,r^{-2}. Usamos aqui a regra do produto e a regra da cadeia para derivar.
Agora \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\big(r^{-2}\big) = -2\,r^{-4}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\big(r^{2}\big) = -2\,r^{-4}\cdot 2x = -4x\,r^{-4}. Atenção: houve um passo fácil de confundir — como r^{-2}=(r^{2})^{-1}, a derivada de r^{-2} em relação a x é -1\cdot(r^{2})^{-2}\cdot 2x = -2x\,r^{-4}. (Corrigindo o raciocínio: usar diretamente r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} dá \partial(r^{-2})/\partial x = -2x\,r^{-4}.)
Interpretação: isso significa que, ao mover-se a partir de (1,2,3) na direção positiva do eixo y, o potencial V diminui à taxa de \tfrac{1}{49} volt por centímetro. Fica a dica: sempre verifique se o vetor direção é unitário — aqui já era — e aplique \nabla V\cdot\mathbf{u}.