Determine a equaçăo do plano tangente ao grático da funç̧āo
l 6 - Determine a equaçăo do plano f(x, y)=y^2-x^2+3 x y^2 no ponto P(1,1,3) çă

Passo 1

A questão pede para encontrar o plano tangente ao gráfico da função z = f(x,y) definida por f(x,y)=y^2-x^2+3xy^2 no ponto P(1,1,3). Esse é um problema de superfícies e planos tangentes, onde vamos usar derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais fx e fy. Aplicando as regras de derivação, temos:

Passo 3

fx(x,y)=partialpartial xl(y^2 - x^2 + 3xy^2r)=-2x+3y^2,
fy(x,y)=partialpartial yl(y^2 - x^2 + 3xy^2r)=2y+6xy

Passo 4

Agora avaliamos essas derivadas no ponto (x0,y0)=(1,1):
fx(1,1)=-2cdot1+3cdot1^2=1,
fy(1,1)=2cdot1+6cdot1cdot1=8
Usamos a fórmula do plano tangente:
z - z0 = fx(x0,y0)igl(x - x0r) + fy(x0,y0)igl(y - y0r) 
Substituindo (x0,y0,z0)=(1,1,3) e os valores de fx e fy, obtemos:
z - 3 = 1,(x - 1) + 8,(y - 1)
Por fim, simplificando essa expressão, chegamos à equação desejada.

Resposta

z = x + 8y - 6

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