Determine a equação do plano tangente ao hiperboloide
x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}-z^{2} / c^{2}=1
em ( x_{0}, y_{0}, z_{0} ) e expresse-a de forma semelhante à do Exercício 51.

Passo 1

O enunciado dá a superfície
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
e um ponto (x_{0},y_{0},z_{0}). A tarefa é determinar a equação do plano tangente a essa superfície no ponto (x_{0},y_{0},z_{0}).
Informações relevantes fornecidas:
  • A superfície é dada implicitamente pela equação acima.
  • O ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) pertence à superfície, isto é,
\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}-\frac{z_{0}^{2}}{c^{2}}=1.

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática): para uma superfície dada por uma função implícita \,F(x,y,z)= constante, o vetor gradiente \nabla F no ponto é normal ao plano tangente. Isso significa que a equação do plano tangente no ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) pode ser escrita como
\nabla F(x_{0},y_{0},z_{0})\cdot\bigl(x-x_{0},\,y-y_{0},\,z-z_{0}\bigr)=0.
Aqui \nabla F=(F_x,F_y,F_z) e F_x é a derivada parcial de F em relação a x, e analogamente para F_y,F_z. Vou aplicar isso ao nosso caso.

Passo 3

Defino a função implícita
F(x,y,z)=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}.
Calculo as derivadas parciais (mostrando passo a passo):
F_x(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}\right)=\frac{2x}{a^{2}},
F_y(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{y^{2}}{b^{2}}\right)=\frac{2y}{b^{2}},
F_z(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial z}\!\left(-\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)=-\frac{2z}{c^{2}}.
Portanto, o gradiente no ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) é
\nabla F(x_{0},y_{0},z_{0})=\left(\frac{2x_{0}}{a^{2}},\,\frac{2y_{0}}{b^{2}},\,-\frac{2z_{0}}{c^{2}}\right).

Passo 4

Aplicando a fórmula do plano tangente com o produto escalar:
\frac{2x_{0}}{a^{2}}(x-x_{0})+\frac{2y_{0}}{b^{2}}(y-y_{0})-\frac{2z_{0}}{c^{2}}(z-z_{0})=0.
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:
\frac{x_{0}}{a^{2}}(x-x_{0})+\frac{y_{0}}{b^{2}}(y-y_{0})-\frac{z_{0}}{c^{2}}(z-z_{0})=0.

Passo 5

Agora manipulo essa expressão para uma forma mais elegante (a forma pedida, semelhante à do Exercício 51). Expando os produtos:
\frac{x_{0}x}{a^{2}}-\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}-\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}-\frac{z_{0}z}{c^{2}}+\frac{z_{0}^{2}}{c^{2}}=0.
Reunindo os termos que não envolvem x,y,z:
\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}-\frac{z_{0}z}{c^{2}}-\left(\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}-\frac{z_{0}^{2}}{c^{2}}\right)=0.
Recordo que, pela hipótese de que (x_{0},y_{0},z_{0}) está na superfície, vale
\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}-\frac{z_{0}^{2}}{c^{2}}=1.
Substituindo esse valor no parêntese obtemos
\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}-\frac{z_{0}z}{c^{2}}-1=0,
ou seja
\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}-\frac{z_{0}z}{c^{2}}=1.

Passo 6

Observações finais e verificação intuitiva: a forma
\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}-\frac{z_{0}z}{c^{2}}=1
é a forma clássica do plano tangente a quadricas definidas por termos quadráticos (compare com tangentes a elipses e hipérboles). Também é bom notar que o gradiente nunca é o vetor nulo em um ponto da superfície, porque (x_{0},y_{0},z_{0}) não pode ser (0,0,0) (esse ponto não satisfaz a equação da superfície), então o plano tangente está bem definido para todo ponto da superfície.

Resposta

\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}-\frac{z_{0}z}{c^{2}}=1

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