Determine a equação do plano tangente ao hiperboloide
em (
) e expresse-a de forma semelhante à do Exercício 51.
Passo 1
O enunciado dá a superfície
e um ponto
. A tarefa é determinar a equação do plano tangente a essa superfície no ponto
.
Informações relevantes fornecidas:
- A superfície é dada implicitamente pela equação acima.
- O ponto
pertence à superfície, isto é,
Passo 2
Ideia-chave (explicação didática): para uma superfície dada por uma função implícita
constante, o vetor gradiente
no ponto é normal ao plano tangente. Isso significa que a equação do plano tangente no ponto
pode ser escrita como
Aqui
e
é a derivada parcial de
em relação a
, e analogamente para
. Vou aplicar isso ao nosso caso.
Passo 3
Defino a função implícita
Calculo as derivadas parciais (mostrando passo a passo):
Portanto, o gradiente no ponto
é
Passo 4
Aplicando a fórmula do plano tangente com o produto escalar:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Agora manipulo essa expressão para uma forma mais elegante (a forma pedida, semelhante à do Exercício 51). Expando os produtos:
Reunindo os termos que não envolvem
:
Recordo que, pela hipótese de que
está na superfície, vale
Substituindo esse valor no parêntese obtemos
ou seja
Passo 6
Observações finais e verificação intuitiva: a forma
é a forma clássica do plano tangente a quadricas definidas por termos quadráticos (compare com tangentes a elipses e hipérboles). Também é bom notar que o gradiente nunca é o vetor nulo em um ponto da superfície, porque
não pode ser
(esse ponto não satisfaz a equação da superfície), então o plano tangente está bem definido para todo ponto da superfície.