No espaço, considere os vetores
e
. Sabendo que
e que o ângulo entre eles é de
, determine o módulo do vetor
.
Passo 1
O enunciado nos dá duas informações sobre os vetores e faz uma única pergunta. Vou listar claramente o que foi informado e o que é pedido:
- Dados:
-
. -
. - O ângulo entre
e é .
-
- Pergunta:
- Determinar o módulo do vetor
, ou seja, calcular .
- Determinar o módulo do vetor
Passo 2
Conceito útil (fórmula que vamos usar) — produto escalar e módulo do somatório:
- Para quaisquer vetores
e no espaço vale a identidade
Expliquei por que isso é verdade: expandindo o quadrado do vetor somado usando a bilinearidade do produto escalar,
- Outra relação importante: o produto escalar entre dois vetores pode ser expresso em termos dos módulos e do ângulo entre eles:
onde
é o ângulo entre
e
. Aqui
é o cosseno desse ângulo.
Passo 3
Aplicando essas fórmulas ao nosso caso com
e
:
- Primeiro calculamos o produto escalar
usando . - Substituindo os valores dados (
, , ) e sabendo que , obtemos
Passo 4
Agora usamos a identidade do Passo 2 para
:
- Substituindo
, e na fórmula,
- Fazendo as contas:
Passo 5
Interpretação final (sem calcular a raiz aqui): o quadrado do módulo de
é
. Para obter o módulo, basta tomar a raiz quadrada positiva desse valor.