No espaço, considere os vetores \vec{u} e \vec{v}. Sabendo que |\vec{u}|=3,|\vec{v}|=4 e que o ângulo entre eles é de 60^{\circ}, determine o módulo do vetor \vec{u}+\vec{v}.

Passo 1

O enunciado nos dá duas informações sobre os vetores e faz uma única pergunta. Vou listar claramente o que foi informado e o que é pedido:
  • Dados:
    • |\vec{u}| = 3.
    • |\vec{v}| = 4.
    • O ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é 60^\circ.
  • Pergunta:
    • Determinar o módulo do vetor \vec{u}+\vec{v}, ou seja, calcular |\vec{u}+\vec{v}|.

Passo 2

Conceito útil (fórmula que vamos usar) — produto escalar e módulo do somatório:
  • Para quaisquer vetores \vec{a} e \vec{b} no espaço vale a identidade
|\vec{a}+\vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+2\,\vec{a}\cdot\vec{b}.
Expliquei por que isso é verdade: expandindo o quadrado do vetor somado usando a bilinearidade do produto escalar,
|\vec{a}+\vec{b}|^{2}=(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})=\vec{a}\cdot\vec{a}+2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|^{2}+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^{2}.
  • Outra relação importante: o produto escalar entre dois vetores pode ser expresso em termos dos módulos e do ângulo entre eles:
\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\,\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}. Aqui \cos\theta é o cosseno desse ângulo.

Passo 3

Aplicando essas fórmulas ao nosso caso com \vec{a}=\vec{u} e \vec{b}=\vec{v}:
  • Primeiro calculamos o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v} usando \vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\,\cos\theta.
  • Substituindo os valores dados ( |\vec{u}|=3, |\vec{v}|=4, \theta=60^\circ) e sabendo que \cos 60^\circ=\tfrac{1}{2}, obtemos
\vec{u}\cdot\vec{v}=3\cdot 4\cdot \cos 60^\circ = 12\cdot \tfrac{1}{2}=6.

Passo 4

Agora usamos a identidade do Passo 2 para |\vec{u}+\vec{v}|^{2}:
  • Substituindo |\vec{u}|^{2}=3^{2}=9, |\vec{v}|^{2}=4^{2}=16 e \vec{u}\cdot\vec{v}=6 na fórmula,
|\vec{u}+\vec{v}|^{2}=9+16+2\cdot 6.
  • Fazendo as contas:
|\vec{u}+\vec{v}|^{2}=25+12=37.

Passo 5

Interpretação final (sem calcular a raiz aqui): o quadrado do módulo de \vec{u}+\vec{v} é 37. Para obter o módulo, basta tomar a raiz quadrada positiva desse valor.

Resposta

\sqrt{37}

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