Determine a equação vetorial e as equações paramétricas da reta
que passa pelo ponto
e é paralela ao eixo
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dados: o ponto
. - Condição: a reta
passa por e é paralela ao eixo . - Perguntas: determinar
- a equação vetorial da reta
; - as equações paramétricas da reta
.
- a equação vetorial da reta
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (passo-a-passo, sem pressa).
- Uma reta no espaço que passa por um ponto
e tem direção dada por um vetor possui equação vetorial
onde:
-
é o vetor posição genérico de um ponto qualquer da reta (variando com ); -
é o vetor posição do ponto conhecido por onde a reta passa; -
é o vetor direção da reta (qualquer múltiplo não-nulo serve); -
é o parâmetro real que percorre a reta.
Explicando com calma:
localiza a reta no espaço (um “ponto de partida”) e somando
você anda ao longo da reta na direção de
. Quando
você está em
; mudando
você obtém os outros pontos.
Passo 3
Qual é o vetor direção quando a reta é paralela ao eixo
?
- O eixo
tem direção do vetor unitário . Isso significa que qualquer vetor paralelo ao eixo é um múltiplo de , ou seja, tem a forma com . - Para ficar simples escolhemos o vetor direção
(o próprio vetor unitário ao longo de ).
Passo 4
Escolher
a partir do ponto
e montar a equação vetorial.
- O vetor posição do ponto
é . - Usando a fórmula da reta:
substituindo
e
, obtemos a equação vetorial
Passo 5
Passar da forma vetorial para as equações paramétricas (desmembrar componentes).
- Escrevendo componente a componente, se
então
- Igualando componentes:
- Portanto as equações paramétricas são
Passo 6
Observações finais rápidas (como checar e equivalências).
- Checagem: para
temos , ou seja a reta realmente passa por . - Paralelismo: o vetor direção
confirma que a reta é paralela ao eixo (mesma direção). - Formas equivalentes: pode-se usar outro parâmetro
ou um vetor direção proporcional, por exemplo dá a mesma reta. Também se pode escrever simplesmente e livre (variando em ).