Determine a equação vetorial e as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto P(1,-2,4) e é paralela ao eixo O z.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados: o ponto P(1,-2,4).
  • Condição: a reta r passa por P e é paralela ao eixo O z.
  • Perguntas: determinar
    1. a equação vetorial da reta r;
    2. as equações paramétricas da reta r.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (passo-a-passo, sem pressa).
  • Uma reta no espaço que passa por um ponto \vec r_0 e tem direção dada por um vetor \vec v possui equação vetorial
\vec r=\vec r_0+t\,\vec v,
onde:
  • \vec r é o vetor posição genérico de um ponto qualquer da reta (variando com t);
  • \vec r_0 é o vetor posição do ponto conhecido por onde a reta passa;
  • \vec v é o vetor direção da reta (qualquer múltiplo não-nulo serve);
  • t\in\mathbb{R} é o parâmetro real que percorre a reta.
Explicando com calma: \vec r_0 localiza a reta no espaço (um “ponto de partida”) e somando t\,\vec v você anda ao longo da reta na direção de \vec v. Quando t=0 você está em \vec r_0; mudando t você obtém os outros pontos.

Passo 3

Qual é o vetor direção quando a reta é paralela ao eixo O z?
  • O eixo O z tem direção do vetor unitário \vec k=(0,0,1). Isso significa que qualquer vetor paralelo ao eixo O z é um múltiplo de \vec k, ou seja, tem a forma (0,0,a) com a\neq0.
  • Para ficar simples escolhemos o vetor direção \vec v=(0,0,1) (o próprio vetor unitário ao longo de z).

Passo 4

Escolher \vec r_0 a partir do ponto P e montar a equação vetorial.
  • O vetor posição do ponto P(1,-2,4) é \vec r_0=(1,-2,4).
  • Usando a fórmula da reta:
\vec r=\vec r_0+t\,\vec v
substituindo \vec r_0=(1,-2,4) e \vec v=(0,0,1), obtemos a equação vetorial
\vec r=(1,-2,4)+t(0,0,1).

Passo 5

Passar da forma vetorial para as equações paramétricas (desmembrar componentes).
  • Escrevendo componente a componente, se \vec r=(x,y,z) então
(x,y,z)=(1,-2,4)+t(0,0,1).
  • Igualando componentes:
x=1+0\cdot t=1,
y=-2+0\cdot t=-2,
z=4+1\cdot t=4+t.
  • Portanto as equações paramétricas são
x=1,\qquad y=-2,\qquad z=4+t,\qquad t\in\mathbb{R}.

Passo 6

Observações finais rápidas (como checar e equivalências).
  • Checagem: para t=0 temos (x,y,z)=(1,-2,4), ou seja a reta realmente passa por P.
  • Paralelismo: o vetor direção (0,0,1) confirma que a reta é paralela ao eixo O z (mesma direção).
  • Formas equivalentes: pode-se usar outro parâmetro s ou um vetor direção proporcional, por exemplo \vec r=(1,-2,4)+s(0,0,5) dá a mesma reta. Também se pode escrever simplesmente x=1,\;y=-2 e z livre (variando em \mathbb{R}).

Resposta

\displaystyle \vec r=(1,-2,4)+t(0,0,1),\\ t\in\mathbb{R}.
\displaystyle x=1,\quad y=-2,\quad z=4+t,\\ t\in\mathbb{R}.

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