Determine a equaçāo do plano tangente no ponto (1,1,0) à superfície definida como 2 x^{2}+y^{2}+z^{2}=3.

Passo 1

O enunciado pede: “Determinar a equação do plano tangente no ponto (1,1,0) à superfície definida por 2x^{2}+y^{2}+z^{2}=3.”
Informações dadas:
  • A superfície é o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem \;2x^{2}+y^{2}+z^{2}=3.
  • O ponto onde queremos o plano tangente é (1,1,0).
  • Precisamos fornecer a equação do plano tangente (uma equação linear em x,y,z que toca a superfície nesse ponto).

Passo 2

Transformar o enunciado em uma função implícita conveniente. Vamos definir a função
F(x,y,z)=2x^{2}+y^{2}+z^{2}-3.
A superfície dada é o nível zero dessa função, isto é, os pontos que satisfazem \;F(x,y,z)=0.
Explicação didática: escrever a superfície como F(x,y,z)=0 é útil porque existe uma fórmula direta para o plano tangente a uma superfície nível: o vetor gradiente \nabla F no ponto é normal ao plano tangente. Vou explicar o que é gradiente e por que isso funciona nos próximos passos.

Passo 3

Definir e calcular o gradiente. O gradiente de F é o vetor formado pelas derivadas parciais de F:
\nabla F(x,y,z)=\Big(\frac{\partial F}{\partial x},\;\frac{\partial F}{\partial y},\;\frac{\partial F}{\partial z}\Big).
Significado prático: \frac{\partial F}{\partial x} mede a taxa de variação de F quando mudamos só x; idem para y e z. Geometricamente, \nabla F aponta na direção de maior crescimento de F e é perpendicular às curvas de nível — por isso é normal à superfície F=0.
Agora calculamos as derivadas parciais de F:
\frac{\partial F}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}(2x^{2}+y^{2}+z^{2}-3)=4x,
\frac{\partial F}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}(2x^{2}+y^{2}+z^{2}-3)=2y,
\frac{\partial F}{\partial z}= \frac{\partial}{\partial z}(2x^{2}+y^{2}+z^{2}-3)=2z.

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto (1,1,0). Substituímos x=1, y=1, z=0 nas expressões obtidas:
\nabla F(1,1,0) = (4\cdot 1,\;2\cdot 1,\;2\cdot 0) = (4,2,0).
Interpretação: (4,2,0) é um vetor normal à superfície em (1,1,0). Isso significa que qualquer vetor tangente à superfície naquele ponto é ortogonal a (4,2,0).

Passo 5

Escrever a equação do plano tangente usando o vetor normal. Se \mathbf{n}=(A,B,C) é um vetor normal e P_0=(x_0,y_0,z_0) é o ponto de contato, a equação do plano normal é
A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.
Aqui (A,B,C)=\nabla F(1,1,0)=(4,2,0) e P_0=(1,1,0). Substituindo:
4(x-1)+2(y-1)+0\cdot(z-0)=0.
Explicação didática: essa fórmula vem de impor que o vetor (x-x_0,y-y_0,z-z_0) que vai de P_0 a um ponto genérico do plano seja ortogonal ao normal \mathbf{n}; o produto escalar deve ser zero.

Passo 6

Simplificar a equação obtida. Expandindo:
4x-4+2y-2=0.
Somando os termos constantes:
4x+2y-6=0.
Podemos dividir por 2 para simplificar:
2x+y-3=0.

Passo 7

Verificações finais e comentário geométrico. Verificamos que o ponto (1,1,0) satisfaz a equação:
2\cdot 1 + 1 - 3 = 0,
portanto o plano realmente passa pelo ponto pedido.
Comentário útil para prova: note que o coeficiente de z na equação final é zero. Isso indica que o plano tangente é paralelo ao eixo z (ou seja, vertical) e que localmente não é possível escrever z como função diferenciável de x e y naquele ponto (pois \frac{\partial F}{\partial z}(1,1,0)=0). Mesmo assim existe o plano tangente — só que ele não fornece z em termos de x,y por derivação implícita nesse ponto.

Resposta

2x+y-3=0

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