Determine a equaçāo do plano tangente no ponto
à superfície definida como
.
Passo 1
O enunciado pede: “Determinar a equação do plano tangente no ponto
à superfície definida por
.”
Informações dadas:
- A superfície é o conjunto de pontos
que satisfazem . - O ponto onde queremos o plano tangente é
. - Precisamos fornecer a equação do plano tangente (uma equação linear em
que toca a superfície nesse ponto).
Passo 2
Transformar o enunciado em uma função implícita conveniente. Vamos definir a função
A superfície dada é o nível zero dessa função, isto é, os pontos que satisfazem
.
Explicação didática: escrever a superfície como
é útil porque existe uma fórmula direta para o plano tangente a uma superfície nível: o vetor gradiente
no ponto é normal ao plano tangente. Vou explicar o que é gradiente e por que isso funciona nos próximos passos.
Passo 3
Definir e calcular o gradiente. O gradiente de
é o vetor formado pelas derivadas parciais de
:
Significado prático:
mede a taxa de variação de
quando mudamos só
; idem para
e
. Geometricamente,
aponta na direção de maior crescimento de
e é perpendicular às curvas de nível — por isso é normal à superfície
.
Agora calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
. Substituímos
,
,
nas expressões obtidas:
Interpretação:
é um vetor normal à superfície em
. Isso significa que qualquer vetor tangente à superfície naquele ponto é ortogonal a
.
Passo 5
Escrever a equação do plano tangente usando o vetor normal. Se
é um vetor normal e
é o ponto de contato, a equação do plano normal é
Aqui
e
. Substituindo:
Explicação didática: essa fórmula vem de impor que o vetor
que vai de
a um ponto genérico do plano seja ortogonal ao normal
; o produto escalar deve ser zero.
Passo 6
Simplificar a equação obtida. Expandindo:
Somando os termos constantes:
Podemos dividir por
para simplificar:
Passo 7
Verificações finais e comentário geométrico. Verificamos que o ponto
satisfaz a equação:
portanto o plano realmente passa pelo ponto pedido.
Comentário útil para prova: note que o coeficiente de
na equação final é zero. Isso indica que o plano tangente é paralelo ao eixo
(ou seja, vertical) e que localmente não é possível escrever
como função diferenciável de
e
naquele ponto (pois
). Mesmo assim existe o plano tangente — só que ele não fornece
em termos de
por derivação implícita nesse ponto.