Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem.
\left(\frac{n^{3}}{n^{2}+1}-n\right);

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência
a_n = \frac{n^{3}}{n^{2}+1} - n
e verificar se ela converge ou diverge quando n \to \infty. Vamos usar manipulação algébrica de frações e o conceito de limite de sequência, comparando o grau dos polinômios no numerador e no denominador.

Passo 2

Para simplificar a_n, primeiro escrevemos como um só quociente:
a_n = \frac{n^{3}}{n^{2}+1} - \frac{n(n^{2}+1)}{n^{2}+1} = \frac{n^{3} - n(n^{2}+1)}{n^{2}+1}.

Passo 3

No numerador fazemos a subtração:
n^{3} - n(n^{2}+1) = n^{3} - (n^{3} + n) = -\,n.
Logo
a_n = \frac{-\,n}{n^{2}+1}.

Passo 4

Para n\to\infty, o grau do polinômio do denominador ( 2) é maior que o do numerador ( 1), então
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{-\,n}{n^{2}+1} = 0.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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