Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem.
\left(\sqrt[3]{\frac{4 n^{3}-5 n}{1+2 n^{3}}}\right);

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_n = \sqrt[3]{\frac{4n^{3}-5n}{1+2n^{3}}}
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é cálculo de limite de sequência envolvendo polinômios e função contínua (a raiz cúbica). Vamos usar a ideia de comparar as potências dominantes de n no numerador e no denominador, depois aplicar a continuidade da raiz cúbica.

Passo 2

Para estudar \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n, primeiro olhamos o interior da raiz cúbica:
\frac{4n^{3}-5n}{1+2n^{3}}.
Como o termo de maior grau em cima e embaixo é n^3, a razão tende ao quociente dos coeficientes desses termos.

Passo 3

Formalizando, dividimos numerador e denominador por n^3:
\frac{4n^{3}-5n}{1+2n^{3}} = \frac{n^{3}\Bigl(4 - \tfrac{5}{n^{2}}\Bigr)}{n^{3}\Bigl(\tfrac{1}{n^{3}} + 2\Bigr)} = \frac{4 - \tfrac{5}{n^{2}}}{\tfrac{1}{n^{3}} + 2}.
À medida que n\to\infty, temos \tfrac{5}{n^{2}}\to0 e \tfrac{1}{n^{3}}\to0, portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{4n^{3}-5n}{1+2n^{3}} = \frac{4 - 0}{0 + 2} = 2.

Passo 4

Agora usamos o fato de que a função f(x)=\sqrt[3]{x} é contínua em todo \mathbb{R}. Logo, podemos trocar o limite e a aplicação de f:
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\sqrt[3]{\frac{4n^{3}-5n}{1+2n^{3}}} = \sqrt[3]{\lim_{n\to\infty}\frac{4n^{3}-5n}{1+2n^{3}}} = \sqrt[3]{2}.
Como esse limite é um número finito, a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty} \sqrt[3]{\frac{4n^{3}-5n}{1+2n^{3}}} = \sqrt[3]{2}.

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