Determine a equação do plano tangente e da reta normal a cada superfície abaixo, nos pontos indicados:
x^3+y^3+z-6 x y=0 para x=y=2

Passo 1

A gente tem uma superfície implícita definida por F(x,y,z)=x³+y³+z−6xy e quer achar o plano tangente e a reta normal no ponto em que x=y=2.

Passo 2

Primeiro, encontramos a coordenada z do ponto P. Como P está na superfície, substituímos x=2 e y=2 em F(x,y,z)=0: 8+8+z−6·2·2=0, ou seja z−8=0, logo z=8. Então P=(2,2,8).

Passo 3

Agora, calculamos o gradiente de F: ∇F=(∂F/∂x,∂F/∂y,∂F/∂z). Temos ∂F/∂x=3x²−6y, ∂F/∂y=3y²−6x e ∂F/∂z=1.

Passo 4

Avaliando em P=(2,2,8) dá ∂F/∂x=12−12=0, ∂F/∂y=12−12=0 e ∂F/∂z=1. Logo ∇F§=(0,0,1).

Passo 5

Para uma superfície F=0, o plano tangente em P satisfaz ∇F§·[(x,y,z)−P]=0. Como ∇F§=(0,0,1), isso vira z−8=0. A reta normal passa por P e tem direção ∇F§, então é (x,y,z)=(2,2,8)+t(0,0,1).

Resposta

Plano tangente: z-8=0. Reta normal: x=2,;y=2,;z=8+t.

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