Sejam f: R R derivável e a, b in R tais que f(a)=f(b)=0. Mostre que se f^prime(a) f^prime(b)>0, então existe c entre a e b tal que f(c)=0.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função diferenciável f: ℝ→ℝ com f(a)=f(b)=0 e f′(a)·f′(b)>0. Precisamos mostrar que existe c∈(a,b) tal que f©=0. Para isso vamos usar a definição de derivada e o Teorema do Valor Intermediário (Bolzano).

Passo 2

Sem perda de generalidade, suponha f′(a)>0 (se f′(a)<0 o raciocínio é análogo, trocando sinais). Pela definição de derivada em a temos
$$
f’(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}. f'(a)=limhto0f(a+h)-f(a)hé
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}>\frac{f’(a)}2>0.
$$
Como f(a)=0 e h>0, segue f(a+h)>0. Escolha x₁=a+h ∈(a,a+δ₁) tal que f(x₁)>0.

Passo 3

Em b, f′(b)>0 pela hipótese, e pela definição de derivada existe δ₂>0 tal que para todo h com -δ₂<h<0 vale
f(b+h)-f(b)h>f'(b)2>0
Agora h<0 e f(b)=0 implicam f(b+h)<0. Tome x₂=b+h ∈(b-δ₂,b) de modo que f(x₂)<0.

Passo 4

Observamos que a<x₁<x₂<b e f(x₁)>0>f(x₂). Pelo Teorema do Valor Intermediário, f assume todo valor entre f(x₁) e f(x₂) no intervalo [x₁,x₂]. Em particular, existe c∈(x₁,x₂)⊂(a,b) tal que f©=0.

Resposta

Existe c em (a,b) tal que f©=0.

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