Sejam
derivável e
tais que
. Mostre que se
, então existe
entre
e
tal que
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função diferenciável f: ℝ→ℝ com f(a)=f(b)=0 e f′(a)·f′(b)>0. Precisamos mostrar que existe c∈(a,b) tal que f©=0. Para isso vamos usar a definição de derivada e o Teorema do Valor Intermediário (Bolzano).
Passo 2
Sem perda de generalidade, suponha f′(a)>0 (se f′(a)<0 o raciocínio é análogo, trocando sinais). Pela definição de derivada em a temos
$$
f’(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}>\frac{f’(a)}2>0.
$$
Como f(a)=0 e h>0, segue f(a+h)>0. Escolha x₁=a+h ∈(a,a+δ₁) tal que f(x₁)>0.
Como f(a)=0 e h>0, segue f(a+h)>0. Escolha x₁=a+h ∈(a,a+δ₁) tal que f(x₁)>0.
Passo 3
Em b, f′(b)>0 pela hipótese, e pela definição de derivada existe δ₂>0 tal que para todo h com -δ₂<h<0 vale
Agora h<0 e f(b)=0 implicam f(b+h)<0. Tome x₂=b+h ∈(b-δ₂,b) de modo que f(x₂)<0.
Passo 4
Observamos que a<x₁<x₂<b e f(x₁)>0>f(x₂). Pelo Teorema do Valor Intermediário, f assume todo valor entre f(x₁) e f(x₂) no intervalo [x₁,x₂]. Em particular, existe c∈(x₁,x₂)⊂(a,b) tal que f©=0.
Resposta
Existe c em (a,b) tal que f©=0.