Determine a equação do plano tangente e da reta normal à f no ponto dado:
f(x, y)=x^2-2 x y no ponto (1,2,-3)

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida por z=f(x,y)=x^2-2xy e pede a equação do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto (1,2,-3). Para isso precisamos lembrar que o plano tangente em (x0,y0,z0) é dado por
z-z0 = fx(x0,y0),(x-x0) + fy(x0,y0),(y-y0),
onde fx e fy são as derivadas parciais de f. A reta normal usa o vetor normal à superfície, que é l(fx,fy,-1r).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=x^2-2xy:
fx(x,y) = 2x - 2y, fy(x,y) = -2x
No ponto (1,2) temos
fx(1,2) = 2cdot1 - 2cdot2 = -2, fy(1,2) = -2cdot1 = -2

Passo 3

Aplicando a fórmula do plano tangente em (x0,y0,z0)=(1,2,-3):
z - (-3) = -2,(x-1) + (-2),(y-2)
Ou seja,
z + 3 = -2x +2 -2y +4 = -2x -2y +6,
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z = -2x - 2y + 3

Passo 4

O vetor normal à superfície nesse ponto é
N = l(fx(1,2),,fy(1,2),,-1r) = (-2,,-2,,-1)
Assim, a reta normal em forma paramétrica é
l(x,y,zr) = l(1,2,-3r) + t,(-2,-2,-1),
ou, na forma simétrica,
x-1-2 ;=;y-2-2;=;z+3-1

Resposta

O plano tangente é
z = -2x - 2y + 3
e a reta normal é
(x,y,z) = (1,2,-3) + t,(-2,-2,-1),
ou de forma simétrica tfracx-1-2=tfracy-2-2=tfracz+3-1.

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