Questão 1 Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries:
\sum_{n=1}^{+\infty} n^{n} x^{n}.

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^+inftyn^nx^n
O conteúdo que vamos usar é a fórmula do raio de convergência para séries de potências, que pode ser obtida pelo teste da raiz ou pela expressão
R=1limsupntoinftyraiz[n]|an|,
onde an=n^n.

Passo 2

Aplicamos a definição de limsup para raiz[n]|an|. Como an=n^n, temos
raiz[n]|an|=raiz[n]n^n=n
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limsupntoinftyraiz[n]|an|=limntoinftyn=infty

Passo 3

Substituindo no R da fórmula, obtemos
R=1infty=0
Isto significa que a série só pode convergir em x tais que |x|<0, ou seja, não há nenhum ponto real diferente de zero onde a série converja.

Passo 4

Para completar, analisamos o caso x=0. Substituindo x=0 na série, todos os termos são zero a partir de n=1, então a soma é 0 e a série converge trivialmente em x=0.

Resposta

O raio de convergência é R=0 e o intervalo de convergência reduz-se ao ponto 0.

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