Questão 1 Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries:
\sum_{n=1}^{+\infty} n^{n} x^{n}.
\sum_{n=1}^{+\infty} n^{n} x^{n}.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo que vamos usar é a fórmula do raio de convergência para séries de potências, que pode ser obtida pelo teste da raiz ou pela expressão
onde
.
Passo 2
Aplicamos a definição de
para
. Como
, temos
Logo
Passo 3
Substituindo no
da fórmula, obtemos
Isto significa que a série só pode convergir em
tais que
, ou seja, não há nenhum ponto real diferente de zero onde a série converja.
Passo 4
Para completar, analisamos o caso
. Substituindo
na série, todos os termos são zero a partir de
, então a soma é
e a série converge trivialmente em
.
Resposta
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência reduz-se ao ponto
.