K) Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
sumk=2^infty k^2(-1)^k+1ln k

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência absoluta e, em seguida, a convergência condicional da série
sumk=2^inftyk^2(-1)^k+1ln k
O conteúdo envolve testes de convergência de séries: teste de comparação para a parte absoluta e teste da divergência (termo geral) para a parte condicional.

Passo 2

Vamos estudar a série dos módulos dos termos, isto é
sumk=2^infty|k^2(-1)^k+1ln k| =sumk=2^inftyk^2ln k
Para k>=3 temos ln k<= k, logo
k^2ln k>=k^2k=k
Mas a série sumk=3^infty k diverge (é série de termos crescentes semelhantes à p-série com p<=1). Pelo teste da comparação, sum k^2/ln k também diverge. Portanto não há convergência absoluta.

Passo 3

Para verificar convergência condicional, aplicamos o teste da divergência ao termo geral
ak=k^2(-1)^k+1ln k
Note que
limktoinftyak ;=; limktoinftyk^2(-1)^k+1ln k
não existe como número finito (o módulo tende a +infty), em particular não tende a zero. Logo, pelo teste da divergência, a série sum ak não converge. Assim, não há convergência condicional.

Resposta

(a) não converge absolutamente.
(b) não converge condicionalmente.

Exercícios relacionados