No estudo da penetração da geada em uma rodovia, a temperatura
no instante
horas e a profundidade
pode ser dada aproximadamente por
, em que
,
e
são constantes. O período de
é 24 horas.
a) calcule e interprete
e
b) mostre que
verifica a equação unidimensional do calor
em que
é uma constante.
a) calcule e interprete
b) mostre que
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para não nos perdermos no caminho.
- A função temperatura é dada por
, onde , e são constantes. - O período da função
é 24 horas. Ou seja, a pulsação satisfaz a relação entre período e pulsação. - O enunciado pede:
(a) calcular e interpretare ;
(b) mostrar quesatisfaz a equação unidimensional do calor para alguma constante , e determinar .
Passo 2
O que significa
e como calculá-la (regra e intuição).
- Intuição:
é a taxa de variação temporal da temperatura no ponto de profundidade fixa — ou seja, como a temperatura muda com o tempo mantendo fixo. - Cálculo: tratar
como constante e derivar a expressão em relação a . A única parte que depende de é o argumento do seno . Pela regra da cadeia, , pois . - Portanto, mantendo
fixo:
-
Interpretação prática: o fator
dá uma amplitude que decai com a profundidade (penetração menor em profundidade), e a variação temporal é proporcional a multiplicada por . Onde a temperatura está aumentando no tempo naquele ; onde está diminuindo. -
Observação sobre o período: o período
da função seno satisfaz . Como o enunciado diz horas, tem-se
Passo 3
O que significa
e como calculá-la (regra e intuição).
- Intuição:
é a taxa de variação espacial da temperatura para um instante de tempo fixo — ou seja, como a temperatura muda quando se penetra mais profundamente na rodovia mantendo o tempo fixo. - Cálculo: agora
é constante. Temos um produto . Aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia: - derivada de
em relação a é ; - derivada de
em relação a é .
- derivada de
- Combinando:
- Interpretação prática: há dois efeitos competindo: o decaimento exponencial
reduz a amplitude com a profundidade; o sinal global é multiplicado por , então quando é positivo, é negativo (temperatura decresce ao penetrar); quando é negativo, o gradiente espacial inverte o sinal. Em média (considerando a amplitude decrescente), a oscilação térmica fica menor com a profundidade.]
Passo 4
Cálculo de
necessário para a equação do calor.
- Partimos de
onde . - Derivamos novamente em relação a
. Novamente usamos regra do produto e regra da cadeia. Vou fazer passo a passo: - derivada de
é ; - derivada de
em relação a é (porque derivada de é ), e . Então
- derivada de
- Aplicando a regra do produto:
Passo 5
Mostrar que
e encontrar
.
- Temos das contas anteriores:
- Substituindo na equação
obtemos
- Para que essa igualdade valha para todos
(ou seja, identicamente), podemos dividir pelos fatores comuns (esses fatores não são identicamente zero como funções de ), e obtemos
ou seja
- Conclusão:
satisfaz a equação do calor unidimensional com constante difusividade térmica . Note que, usando o período dado h, tem-se , logo se quiser o valor em termos de numérico.
Resposta
(a)
\
(a) \
(b)
(a)
(b)