A lei dos gases ideais pode ser enunciada como P V=k n T, em que n é o número de moléculas do gás, V é o volume, T é a temperatura, P é a pressão e k é uma constante. Mostre que \frac{\partial V}{\partial T} \frac{\partial T}{\partial P} \frac{\partial P}{\partial V}=-1.

Passo 1

O enunciado nos dá a lei dos gases ideais
P\,V = k\,n\,T,
onde n (número de moléculas) e k (constante) são constantes no processo considerado. A tarefa é mostrar que
\frac{\partial V}{\partial T}\,\frac{\partial T}{\partial P}\,\frac{\partial P}{\partial V} = -1.
Aqui vou interpretar cada derivada parcial no sentido padrão cíclico, ou seja:
  • \left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_{P} é a derivada de V em relação a T mantendo P fixo;
  • \left(\dfrac{\partial T}{\partial P}\right)_{V} é a derivada de T em relação a P mantendo V fixo;
  • \left(\dfrac{\partial P}{\partial V}\right)_{T} é a derivada de P em relação a V mantendo T fixo.
Vou calcular cada uma explicitamente e depois multiplicar, mostrando passo a passo as simplificações.

Passo 2

Primeiro, isole V como função de T e P. A partir de
P\,V = k\,n\,T
temos
V = \frac{k\,n}{P}\,T.
Trate aqui k, n e P como constantes ao derivar em relação a T.

Passo 3

Calcule \left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}. A expressão de V é linear em T, então
\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P} = \frac{k\,n}{P}.
Interpretação simples: para pressão fixa, aumentar T aumenta V numa razão proporcional a \dfrac{k n}{P}.

Passo 4

Agora escreva T como função de P e V. Da lei dos gases,
T = \frac{P\,V}{k\,n}.
Ao derivar em relação a P com V fixo, V e k n são constantes.

Passo 5

Calcule \left(\dfrac{\partial T}{\partial P}\right)_{V}. Como T é linear em P,
\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{V} = \frac{V}{k\,n}.

Passo 6

Escreva P como função de V e T. Da lei,
P = \frac{k\,n}{V}\,T.
Ao derivar em relação a V com T fixo, k n e T são constantes.

Passo 7

Calcule \left(\dfrac{\partial P}{\partial V}\right)_{T}. A função é P(V)=(k n T)\,V^{-1}, portanto
\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{T} = (k\,n\,T)\cdot\frac{d}{dV}\!\left(V^{-1}\right) = (k\,n\,T)\cdot\left(-V^{-2}\right) = -\frac{k\,n\,T}{V^{2}}.

Passo 8

Agora multiplique as três derivadas obtidas, mostrando as simplificações passo a passo:
\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P} \left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{V} \left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{T} = \left(\frac{k\,n}{P}\right) \left(\frac{V}{k\,n}\right) \left(-\frac{k\,n\,T}{V^{2}}\right).
Primeira simplificação: \dfrac{k n}{P}\cdot\dfrac{V}{k n}=\dfrac{V}{P}. Assim fica
\frac{V}{P}\cdot\left(-\frac{k\,n\,T}{V^{2}}\right) = -\frac{k\,n\,T}{P\,V}.
Finalmente use a lei dos gases k\,n\,T = P\,V (pegando esse dado do enunciado). Substituindo,
-\frac{k\,n\,T}{P\,V} = -\frac{P\,V}{P\,V} = -1.

Passo 9

Conclusão: as simplificações e a relação entre as variáveis levam exatamente a -1. Isso é um exemplo do resultado geral para três variáveis relacionadas por uma equação: o produto cíclico das derivadas parciais apropriadas vale -1.

Resposta

-1

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