A lei dos gases ideais pode ser enunciada como
, em que
é o número de moléculas do gás,
é o volume,
é a temperatura,
é a pressão e
é uma constante. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado nos dá a lei dos gases ideais
onde
(número de moléculas) e
(constante) são constantes no processo considerado. A tarefa é mostrar que
Aqui vou interpretar cada derivada parcial no sentido padrão cíclico, ou seja:
-
é a derivada de em relação a mantendo fixo; -
é a derivada de em relação a mantendo fixo; -
é a derivada de em relação a mantendo fixo.
Vou calcular cada uma explicitamente e depois multiplicar, mostrando passo a passo as simplificações.
Passo 2
Primeiro, isole
como função de
e
. A partir de
temos
Trate aqui
,
e
como constantes ao derivar em relação a
.
Passo 3
Calcule
. A expressão de
é linear em
, então
Interpretação simples: para pressão fixa, aumentar
aumenta
numa razão proporcional a
.
Passo 4
Agora escreva
como função de
e
. Da lei dos gases,
Ao derivar em relação a
com
fixo,
e
são constantes.
Passo 5
Calcule
. Como
é linear em
,
Passo 6
Escreva
como função de
e
. Da lei,
Ao derivar em relação a
com
fixo,
e
são constantes.
Passo 7
Calcule
. A função é
, portanto
Passo 8
Agora multiplique as três derivadas obtidas, mostrando as simplificações passo a passo:
Primeira simplificação:
. Assim fica
Finalmente use a lei dos gases
(pegando esse dado do enunciado). Substituindo,
Passo 9
Conclusão: as simplificações e a relação entre as variáveis levam exatamente a
. Isso é um exemplo do resultado geral para três variáveis relacionadas por uma equação: o produto cíclico das derivadas parciais apropriadas vale
.