Determine a equação do plano tangente à superfície S de equação
x^2+3 y^2+4 z^2=8
em (1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície S definida por
x^2+3y^2+4z^2=8
no ponto (1,1,1). Vamos usar a abordagem de funções implícitas: definimos
F(x,y,z)=x^2+3y^2+4z^2-8,
cujo nível F(x,y,z)=0 é exatamente a superfície S. O vetor normal ao plano tangente em um ponto é dado por nabla F avaliado nesse ponto.

Passo 2

Calculamos o gradiente de F:
nabla F(x,y,z) =l(partial Fpartial x,,partial Fpartial y,,partial Fpartial zr) =(2x,,6y,,8z)
Em seguida, avaliamos em (1,1,1):
nabla F(1,1,1)=(2cdot1,,6cdot1,,8cdot1)=(2,6,8)
Esse será o vetor normal (a,b,c) do plano tangente.

Passo 3

A equação geral de um plano com normal (a,b,c) passando por (x0,y0,z0) é
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0)=0
Substituindo (a,b,c)=(2,6,8) e (x0,y0,z0)=(1,1,1), obtemos
2(x-1)+6(y-1)+8(z-1)=0
Para finalizar, expandimos e simplificamos:
2x + 6y + 8z -16=0 Long<=ftrightarrow x+3y+4z=8

Resposta

A equação do plano tangente em (1,1,1) é
x + 3y + 4z = 8

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