Representar graficamente os seguintes subconjuntos de R^2. Identificar os conjuntos abertos.
B=(x, y) in R^2 mid x^2-4 x+y^2 >= 0

Passo 1

O conjunto dado é
B = (x,y)inR^2 mid x^2 - 4x + y^2 >= 0
Vamos usar o método de completar o quadrado para identificar a forma geométrica desse conjunto e depois analisar se ele é aberto ou fechado.

Passo 2

Reescrevendo a expressão em x por completamento de quadrado:
x^2 - 4x + y^2 = (x^2 - 4x + 4) + y^2 - 4 = (x - 2)^2 + y^2 - 4
A desigualdade x^2 - 4x + y^2 >= 0 fica então
(x-2)^2 + y^2 - 4 >= 0 Long<=ftrightarrow (x-2)^2 + y^2 >= 4

Passo 3

Geométricamente, (x-2)^2 + y^2 = 4 é a circunferência de centro (2,0) e raio 2. A condição
(x-2)^2 + y^2 >= 4
significa todos os pontos cuja distância ao ponto (2,0) é maior ou igual a 2. Logo, B é a região externa à circunferência (inclusive a própria circunferência).

Passo 4

Para representar graficamente, trace a circunferência de centro (2,0) e raio 2, e depois sombreie toda a região fora dela, incluindo a própria borda.

Passo 5

Uma vez que o conjunto de pontos cuja distância a (2,0) é maior que 2 é aberto e que a circunferência (x-2)^2+y^2=4 também está incluída em B, concluímos que B contém sua fronteira. Como B é o contradomínio contínuo de um conjunto fechado [0,infty), temos que B é fechado em R^2. Em particular, B não é aberto.

Resposta

O conjunto B é a região externa (incluindo a borda) da circunferência de centro (2,0) e raio 2.
O conjunto B é fechado e não é aberto.

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