Representar graficamente os seguintes subconjuntos de
. Identificar os conjuntos abertos.
Passo 1
O conjunto dado é
Vamos usar o método de completar o quadrado para identificar a forma geométrica desse conjunto e depois analisar se ele é aberto ou fechado.
Passo 2
Reescrevendo a expressão em
por completamento de quadrado:
A desigualdade
fica então
Passo 3
Geométricamente,
é a circunferência de centro
e raio
. A condição
significa todos os pontos cuja distância ao ponto
é maior ou igual a
. Logo,
é a região externa à circunferência (inclusive a própria circunferência).
Passo 4
Para representar graficamente, trace a circunferência de centro
e raio
, e depois sombreie toda a região fora dela, incluindo a própria borda.
Passo 5
Uma vez que o conjunto de pontos cuja distância a
é maior que
é aberto e que a circunferência
também está incluída em
, concluímos que
contém sua fronteira. Como
é o contradomínio contínuo de um conjunto fechado
, temos que
é fechado em
. Em particular,
não é aberto.
Resposta
O conjunto
é a região externa (incluindo a borda) da circunferência de centro
e raio
.
O conjunto é fechado e não é aberto.
O conjunto