Determine a equação do plano tangente à superficie esférica de equação x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+8 y-4 z+9=0 no ponto T=(3,-6,4).
Escolha uma apcila:
a. \pi: x-y+z-13=0
b. \pi: x+y+z-5=0
c. \pi: x-y+z-1=0
d. \pi: x+y+z+7=0

Passo 1

O enunciado dá a superfície esférica definida por
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+8y-4z+9=0
e pede o plano tangente no ponto T=(3,-6,4). Para qualquer superfície f(x,y,z)=0, o plano tangente em T é dado por
\nabla f(T)\cdot\bigl((x,y,z)-T\bigr)=0.

Passo 2

Calcular o gradiente de f:
\nabla f(x,y,z) =\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial f}{\partial z}\Bigr) =(2x-2,\;2y+8,\;2z-4).

Passo 3

Avaliar o gradiente em T=(3,-6,4):
\nabla f(3,-6,4) =(2\cdot3-2,\;2\cdot(-6)+8,\;2\cdot4-4) =(6-2,\;-12+8,\;8-4) =(4,\,-4,\;4).

Passo 4

O plano tangente é
(4,\,-4,\,4)\cdot\bigl(x-3,\;y+6,\;z-4\bigr)=0.
Dividindo por 4 e expandindo,
(x-3)-(y+6)+(z-4)=0 \quad\Longrightarrow\quad x - y + z - 13 = 0.

Passo 5

Comparando com as alternativas, corresponde à alternativa (a).

Resposta

(a) \pi: x - y + z - 13 = 0

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