Determine os pontos de interseção da reta que passa pelos pontos A=(-11,10,3) e B=(13,-14,3) e a circunferência de equação x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-4 y-6 z-2=0.
Escolha uma opciso:
a. P_{1}=(1,-2,3) e P_{2}=(-3,2,3)
b. P_{1}=(-3,2,3) e P_{2}=(1,2,7)
c. P_{1}=(1,-2,3) e P_{2}=(5,2,3)
d. P_{1}=(-3,2,3) e P_{2}=(1,2,-1)
e. P_{1}=(1,-2,3) e P_{2}=(1,2,-1)
f. P_{1}=(1,2,-1) e P_{2}=(5,2,3)

Passo 1

O enunciado pede os pontos de interseção da reta que passa por A=(-11,10,3) e B=(13,-14,3) com a esfera dada por
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-4y-6z-2=0.
Este é um problema de interseção reta-esfera: vamos parametrizar a reta, substituir na equação da esfera, obter uma equação em t (quadrática), resolver e calcular os pontos.

Passo 2

A reta que passa por A e B pode ser parametrizada por
\vec r(t)=A + t\,(B-A),\quad t\in\mathbb{R}.
O vetor B-A é
B-A = (13-(-11),\,-14-10,\,3-3) = (24,\,-24,\,0),
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x(t) = -11 + 24t,\quad y(t) = 10 - 24t,\quad z(t) = 3.

Passo 3

Substituímos x(t), y(t), z(t) na equação da esfera:
(-11+24t)^{2} + (10-24t)^{2} + 3^{2} -2(-11+24t) -4(10-24t) -6\cdot3 -2 =0.

Passo 4

Expandindo e simplificando obtemos a quadrática
1152\,t^{2} -960\,t +192 =0 \quad\Longrightarrow\quad 6\,t^{2}-5\,t+1=0.
As raízes são
t = \frac{5\pm\sqrt{25-24}}{12} = \frac{5\pm1}{12},
isto é
t_{1} = \tfrac12, \quad t_{2} = \tfrac13.

Passo 5

Para t_{1}=\tfrac12:
x = -11+24\cdot\tfrac12 = 1,\quad y = 10-24\cdot\tfrac12 = -2,\quad z=3,
logo P_{1}=(1,-2,3).
Para t_{2}=\tfrac13:
x = -11+24\cdot\tfrac13 = -3,\quad y = 10-24\cdot\tfrac13 = 2,\quad z=3,
logo P_{2}=(-3,2,3).

Passo 6

Comparando com as opções, vemos que bate com a alternativa (a).

Resposta

(a)

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