Para quais valores de k na equação \frac{x^{2}}{2 k+10}+\frac{y^{2}}{2 k-6}+\frac{z^{2}}{2 k-20}=1, teremos um elipsoide?
Ercol ha uma opcia:
a. Nâo é possivel
b. 3<k<10
c. -5<k<3
d. k>10
e. k<-5

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície
\frac{x^{2}}{2k+10} \;+\;\frac{y^{2}}{2k-6}\;+\;\frac{z^{2}}{2k-20}=1
e pergunta para quais valores de k isso representa um elipsoide. Sabemos que a forma geral
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
é um elipsoide se, e somente se, a^{2}>0, b^{2}>0 e c^{2}>0. Aqui identificamos
a^{2}=2k+10,\quad b^{2}=2k-6,\quad c^{2}=2k-20.

Passo 2

Para que cada “ a^{2}”, “ b^{2}” e “ c^{2}” seja positivo, devemos ter simultaneamente:
2k+10>0,
2k-6>0,
2k-20>0.

Passo 3

Resolvendo cada desigualdade:
2k+10>0\;\Longrightarrow\;k>-5,
2k-6>0\;\Longrightarrow\;k>3,
2k-20>0\;\Longrightarrow\;k>10.
A interseção dessas condições é
k>10.

Passo 4

Concluímos que só para k>10 todos os denominadores são positivos e a superfície é um elipsoide.

Resposta

k>10

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