Para que valores reais de \lambda a equação x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+4 y-6 z=-\lambda-14 representa uma esfera?
Escolha uma apçion:
a. \lambda<1
b. \lambda<2
c. \lambda<0
d. \lambda>1
e. \lambda>2
f. \lambda>0

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y-6z = -\lambda -14
e pede para que valores reais de \lambda isso represente uma esfera. Vamos usar o método de completar o quadrado para reescrever a equação no formato
(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}
e então exigir R^{2}>0.

Passo 2

Separemos termos de cada variável e completemos o quadrado:
x^{2}-2x = (x-1)^{2} -1,\quad y^{2}+4y = (y+2)^{2} -4,\quad z^{2}-6z = (z-3)^{2} -9.

Passo 3

Substituindo na equação original, obtemos
(x-1)^{2} -1 \;+\;(y+2)^{2} -4 \;+\;(z-3)^{2} -9 = -\lambda -14.
Somando -1-4-9=-14 no lado esquerdo:
(x-1)^{2} + (y+2)^{2} + (z-3)^{2} -14 = -\lambda -14.

Passo 4

Isolando o quadrado perfeito:
(x-1)^{2} + (y+2)^{2} + (z-3)^{2} = -\lambda -14 +14 = -\lambda.
Logo o raio ao quadrado é
R^{2} = -\lambda.

Passo 5

Para representar uma esfera com raio real não nulo, precisamos de
R^{2} > 0 \quad\Longrightarrow\quad -\lambda > 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda < 0.

Resposta

(c) \lambda<0

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