Determine a equação do plano tangente à superfície de nível no ponto dado.
(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-2)^{2}=4, P(1,2,4).

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente à superfície de nível
(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-2)^{2}=4
no ponto P(1,2,4). Vamos usar que, para F(x,y,z)=\text{constante}, o plano tangente em P é dado por
\nabla F(P)\cdot\bigl((x,y,z)-P\bigr)=0.

Passo 2

Definimos
F(x,y,z)=(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-2)^{2}.
Para encontrar a direção normal ao plano tangente, calculamos o gradiente \nabla F(x,y,z).

Passo 3

O gradiente é
\nabla F(x,y,z)=\bigl(2(x-1),\,2(y-2),\,2(z-2)\bigr).
Em P(1,2,4) isso vale
\nabla F(1,2,4)=(2\cdot0,\,2\cdot0,\,2\cdot2)=(0,0,4).

Passo 4

O plano tangente satisfaz
\nabla F(1,2,4)\cdot\bigl((x,y,z)-(1,2,4)\bigr)=0,
ou seja
0\,(x-1)+0\,(y-2)+4\,(z-4)=0.
Isso reduz-se a
z-4=0.

Resposta

z=4

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