Determine a equação do plano tangente à superfície de nível no ponto dado.
z=x^{4}-y^{2}, P(0,1,-1).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície definida por
z = x^{4} - y^{2}
no ponto P(0,1,-1).
O conteúdo aqui é derivadas parciais e fórmula do plano tangente a um gráfico z=f(x,y).

Passo 2

Para um gráfico z=f(x,y), o plano tangente em (x_{0},y_{0},z_{0}) é dado por
z - z_{0} = f_{x}(x_{0},y_{0})\,(x - x_{0}) + f_{y}(x_{0},y_{0})\,(y - y_{0}),
onde
f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{4}-y^{2}\bigr), \quad f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{4}-y^{2}\bigr).

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais:
f_{x}(x,y) = 4x^{3}, \quad f_{y}(x,y) = -2y.
No ponto (x_{0},y_{0})=(0,1) temos
f_{x}(0,1) = 4\cdot 0^{3} = 0, \quad f_{y}(0,1) = -2\cdot 1 = -2.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula do plano tangente com z_{0} = -1:
z - (-1) = 0\cdot(x - 0) + (-2)\,(y - 1),
isto é,
z + 1 = -2(y - 1).
Simplificando,
z + 1 = -2y + 2 \quad\Longrightarrow\quad z = -2y + 1.

Resposta

A equação do plano tangente é
\boxed{z = -2y + 1}.

Exercícios relacionados