Determine a equação do plano tangente à superfície de nível no ponto dado.
z=x^{4}-y, P(0,0,0).

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente à superfície de nível determinada por
z = x^4 - y
no ponto P(0,0,0). Para isso, interpretamos essa superfície como o conjunto de pontos que satisfazem
\varphi(x,y,z)=x^4 - y - z = 0.
O método de plano tangente a uma superfície implícita usa o gradiente de \varphi, que é normal ao plano.

Passo 2

Calculemos o gradiente de
\varphi(x,y,z)=x^4 - y - z. Temos
\nabla \varphi(x,y,z) =\Bigl(\frac{\partial \varphi}{\partial x},\frac{\partial \varphi}{\partial y},\frac{\partial \varphi}{\partial z}\Bigr) =(4x^3,\,-1,\,-1).

Passo 3

Avalie o gradiente em P(0,0,0):
\nabla \varphi(0,0,0) = (4\cdot0^3,\,-1,\,-1) = (0,\,-1,\,-1).
Esse vetor é normal ao plano tangente.

Passo 4

A equação geral do plano tangente a \varphi=0 em P é
\nabla \varphi(P)\cdot\bigl((x,y,z)-(0,0,0)\bigr)=0.
Substituindo \nabla \varphi(P)=(0,-1,-1) e P=(0,0,0) vem
0\,(x-0) \;-\;1\,(y-0)\;-\;1\,(z-0)=0
ou seja
-y - z = 0.

Passo 5

Simplificando a equação anterior, obtemos
y + z = 0.

Resposta

y + z = 0

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