Determine a equação da reta tangente à curva de nível da função dada no ponto indicado. Faça o esboço da curva de nível, da reta e do gradiente no ponto.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
. Queremos a reta tangente à curva de nível de
que passa por
, além de esboçar essa curva, a reta e o vetor gradiente em
.
Passo 2
Primeiro, calculamos o valor da função em
:
Logo a curva de nível de interesse é
que é uma elipse centrada na origem.
Passo 3
Calculamos o gradiente de
:
Em
temos
Passo 4
A reta tangente à curva de nível em
é o conjunto de
que satisfaz
isto é
Em forma explícita:
Passo 5
Esboço qualitativo:
- A curva
é uma elipse com semi-eixos e . - A reta tangente em
é . - O vetor gradiente
em aponta perpendicular à reta e para fora da elipse, com direção de coeficiente angular .
Resposta
A equação da reta tangente é
O vetor gradiente em
é
. O esboço mostra a elipse
, a reta
tocando-a em
e a seta representando
perpendicular à reta.