Determine a equação da reta tangente à curva de nível da função dada no ponto indicado. Faça o esboço da curva de nível, da reta e do gradiente no ponto.
\quad f(x, y)=3 x^{2}+2 y^{2}, P(1,1).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=3x^{2}+2y^{2}
e o ponto P(1,1). Queremos a reta tangente à curva de nível de f que passa por P, além de esboçar essa curva, a reta e o vetor gradiente em P.

Passo 2

Primeiro, calculamos o valor da função em P:
f(1,1)=3\cdot1^{2}+2\cdot1^{2}=3+2=5.
Logo a curva de nível de interesse é
3x^{2}+2y^{2}=5,
que é uma elipse centrada na origem.

Passo 3

Calculamos o gradiente de f:
\nabla f(x,y)=\bigl(\partial_x f,\partial_y f\bigr)=(6x,4y).
Em P(1,1) temos
\nabla f(1,1)=(6,4).

Passo 4

A reta tangente à curva de nível em P é o conjunto de (x,y) que satisfaz
\nabla f(1,1)\cdot\bigl(x-1,y-1\bigr)=0,
isto é
6(x-1)+4(y-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad 6x+4y=10 \quad\Longrightarrow\quad 3x+2y=5.
Em forma explícita:
y=-\tfrac{3}{2}x+\tfrac{5}{2}.

Passo 5

Esboço qualitativo:
  • A curva 3x^{2}+2y^{2}=5 é uma elipse com semi-eixos \sqrt{\tfrac{5}{3}} e \sqrt{\tfrac{5}{2}}.
  • A reta tangente em P(1,1) é 3x+2y=5.
  • O vetor gradiente (6,4) em P aponta perpendicular à reta e para fora da elipse, com direção de coeficiente angular \tfrac{4}{6}=\tfrac{2}{3}.

Resposta

A equação da reta tangente é
3x+2y=5.
O vetor gradiente em P é \nabla f(1,1)=(6,4). O esboço mostra a elipse 3x^{2}+2y^{2}=5, a reta 3x+2y=5 tocando-a em (1,1) e a seta representando \nabla f(1,1) perpendicular à reta.

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