Mostre que a reta normal à superfície
contem o ponto
.
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície
que é uma esfera de centro
e raio
. Queremos mostrar que, para qualquer ponto
dessa esfera, a reta normal à superfície em
contém o ponto
.
Passo 2
Como a esfera é o conjunto de soluções de
o gradiente
em
é normal à superfície em
. Calculamos
logo em
temos
Passo 3
A reta normal à superfície em
é dada parametricamente por
onde
.
Passo 4
Procuramos
Como
. Note que, se escolhermos
então cada coordenada fica
e de modo análogo
Portanto o ponto
está na reta normal.
Resposta
Mostramos que, tomando
, a reta normal em
passa por
. Logo, a reta normal à superfície contém o ponto
.