Mostre que a reta normal à superfície (x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-2)^{2}=4 contem o ponto P(1,2,2).

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície
(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-2)^{2}=4
que é uma esfera de centro C=(1,2,2) e raio 2. Queremos mostrar que, para qualquer ponto Q=(x_{0},y_{0},z_{0}) dessa esfera, a reta normal à superfície em Q contém o ponto P=(1,2,2).

Passo 2

Como a esfera é o conjunto de soluções de
f(x,y,z)=(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-2)^{2}-4=0,
o gradiente \nabla f em Q é normal à superfície em Q. Calculamos
\nabla f(x,y,z)=\bigl(2(x-1),\,2(y-2),\,2(z-2)\bigr),
logo em Q=(x_{0},y_{0},z_{0}) temos
\nabla f(Q)=\bigl(2(x_{0}-1),\,2(y_{0}-2),\,2(z_{0}-2)\bigr).

Passo 3

A reta normal à superfície em Q é dada parametricamente por
(x,y,z) =(x_{0},y_{0},z_{0}) +t\,(2(x_{0}-1),\,2(y_{0}-2),\,2(z_{0}-2)),
onde t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Procuramos t\) tal que \((x,y,z)=(1,2,2)\). Isso exige \[\begin{cases} 1 = x_{0}+2t(x_{0}-1),\\\\ 2 = y_{0}+2t(y_{0}-2),\\\\ 2 = z_{0}+2t(z_{0}-2). \end{cases}
Como Q\] está na esfera, \((x_{0}-1)^{2}+(y_{0}-2)^{2}+(z_{0}-2)^{2}=4. Note que, se escolhermos
t=-\tfrac12,
então cada coordenada fica
x_{0}+2\bigl(-\tfrac12\bigr)(x_{0}-1)=x_{0}-(x_{0}-1)=1,
e de modo análogo
y_{0}-(y_{0}-2)=2, \quad z_{0}-(z_{0}-2)=2.
Portanto o ponto P=(1,2,2) está na reta normal.

Resposta

Mostramos que, tomando t=-\tfrac12, a reta normal em Q passa por P=(1,2,2). Logo, a reta normal à superfície contém o ponto P.

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