Mostre que a reta normal à superfície \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}=r^{2} contem o ponto P\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right).

Passo 1

Temos a superfície definida pela equação
F(x,y,z) = (x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} + (z - z_{0})^{2} - r^{2} = 0
que é uma esfera de centro P(x_{0},y_{0},z_{0}) e raio r. O objetivo é mostrar que, em qualquer ponto Q=(x,y,z) dessa esfera, a reta normal à superfície em Q passa por P.

Passo 2

Para uma superfície dada por F(x,y,z)=0, o vetor gradiente \nabla F em Q é normal à superfície em Q. Calculamos
\nabla F(x,y,z) = \Bigl(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\Bigr) = \bigl(2(x-x_{0}),\,2(y-y_{0}),\,2(z-z_{0})\bigr).

Passo 3

A reta normal à superfície em Q pode ser escrita em forma paramétrica como
L(t) = Q + t\,\nabla F(Q) = \bigl(x,y,z\bigr) + t\bigl(2(x-x_{0}),\,2(y-y_{0}),\,2(z-z_{0})\bigr).

Passo 4

Para verificar que P=(x_{0},y_{0},z_{0}) pertence a L(t), basta achar t tal que
x_{0} = x + 2t(x-x_{0}),\quad y_{0} = y + 2t(y-y_{0}),\quad z_{0} = z + 2t(z-z_{0}).
Cada uma dessas igualdades dá
x_{0}-x = 2t(x-x_{0}) \quad\Longrightarrow\quad t = -\tfrac12,
e analogamente para as demais coordenadas. Com t=-\tfrac12 todas as três igualdades são satisfeitas simultaneamente, mostrando que
L\bigl(-\tfrac12\bigr) = P.

Resposta

A reta normal à esfera em qualquer ponto Q contém o centro P(x_{0},y_{0},z_{0}).

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