Mostre que a reta normal à superfície
contem o ponto
.
Passo 1
Temos a superfície definida pela equação
que é uma esfera de centro
e raio
. O objetivo é mostrar que, em qualquer ponto
dessa esfera, a reta normal à superfície em
passa por
.
Passo 2
Para uma superfície dada por
, o vetor gradiente
em
é normal à superfície em
. Calculamos
Passo 3
A reta normal à superfície em
pode ser escrita em forma paramétrica como
Passo 4
Para verificar que
pertence a
, basta achar
tal que
Cada uma dessas igualdades dá
e analogamente para as demais coordenadas. Com
todas as três igualdades são satisfeitas simultaneamente, mostrando que
Resposta
A reta normal à esfera em qualquer ponto
contém o centro
.