Determine a equação do plano tangente à superficie paramétrica dada no ponto especificado
x=u+v, y=3 u^2, z=u-v, para u=1 e v=1.

Passo 1

O enunciado dá uma superfície paramétrica
r(u,v)=l(u+v,;3u^2,;u-vr)
e pede a equação do plano tangente no ponto correspondente a u=1, v=1.
Conteúdo: plano tangente a superfície paramétrica.
O que vamos precisar:
– calcular o ponto P0=r(1,1),
– obter os vetores tangentes partial r/partial u e partial r/partial v,
– determinar o vetor normal N=(partial r/partial u)times(partial r/partial v),
– escrever a equação Ncdotl((x,y,z)-P0r)=0.

Passo 2

Calcular o ponto P0=r(1,1):
x0=1+1=2, y0=3cdot1^2=3, z0=1-1=0
Então
P0=(2,3,0)

Passo 3

Derivar parametricamente:
ru=partial rpartial u=(1,;6u,;1), rv=partial rpartial v=(1,;0,;-1)

Passo 4

Avaliar em (u,v)=(1,1):
ru(1,1)=(1,6,1), rv(1,1)=(1,0,-1)

Passo 5

Calcular o vetor normal por produto vetorial:
N=ru(1,1)times rv(1,1) =(1,6,1)times(1,0,-1)
Em coordenadas:
N=l(6cdot(-1)-1cdot0,,-l(1cdot(-1)-1cdot1r),,1cdot0-6cdot1r) =(-6,2,-6)
Podemos simplificar dividindo por -2:
N=(3,-1,3)

Passo 6

Equação do plano tangente usando Ncdotl((x,y,z)-P0r)=0:
(3,-1,3)cdotl(x-2,;y-3,;z-0r)=0
Isto é
3(x-2)-1,(y-3)+3(z-0)=0
Longrightarrow 3x -6 -y +3 +3z=0
Longrightarrow 3x - y + 3z - 3 = 0

Resposta

A equação do plano tangente é
3x - y + 3z - 3 = 0

Exercícios relacionados