Determine a equação do plano tangente à superficie paramétrica dada no ponto especificado
x=u^2, y=u-v^2, z=v^2, para u=1 e v=-1.

Passo 1

O enunciado dá uma superfície paramétrica
x = u^2,
y = u - v^2,
z = v^2
e pede a equação do plano tangente no ponto correspondente a u = 1, v = -1.
Para isso, vamos usar a representação vetorial da superfície, calcular os vetores tangentes partial rpartial u e partial rpartial v, achar o vetor normal pela operação de produto vetorial e, em seguida, montar a equação do plano.

Passo 2

Definimos o vetor posição
r(u,v) = l(u^2,;u - v^2,;v^2r)
Então os vetores tangentes são
ru = partial rpartial u = l(2u,;1,;0r), rv = partial rpartial v = l(0,;-2v,;2vr)

Passo 3

Avaliamo-los em u=1, v=-1:
ru(1,-1) = (2cdot1,;1,;0) = (2,1,0),
rv(1,-1) = l(0,;-2cdot(-1),;2cdot(-1)r) = (0,2,-2)

Passo 4

O vetor normal ao plano tangente é
n = ru(1,-1) times rv(1,-1)
Fazendo o produto vetorial:
n = i & j & k 2 & 1 & 0 0 & 2 & -2 = l(1cdot(-2)-0cdot2,;-,l(2cdot(-2)-0cdot0r),;2cdot2-1cdot0r) = (-2,;4,;4)

Passo 5

O ponto P na superfície para (u,v)=(1,-1) é
P = l(x0,y0,z0r) = l(1^2,;1-(-1)^2,;(-1)^2r) = (1,0,1)
A equação do plano com normal n=(A,B,C)=(-2,4,4) passando por P é
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
Substituindo:
-2,(x-1) ;+;4,(y-0);+;4,(z-1) = 0
Expandindo e simplificando:
-2x+2 ;+;4y;+;4z-4 = 0 Longrightarrow -2x+4y+4z-2 = 0
Multiplicando por -1 e dividindo por 2 para simplificar:
x - 2y - 2z + 1 = 0

Resposta

A equação do plano tangente é
x - 2y - 2z + 1 = 0

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