Determine a equação do plano tangente à superficie paramétrica dada no ponto especificado
r(u, v)=(u+v) i+u Cos(v) j+v Sen(u) k, no ponto (1,1,0).

Passo 1

O enunciado fornece a superfície paramétrica
r(u,v) = (u+v),i + ucos(v),j + vsin(u),k
e pede a equação do plano tangente no ponto (1,1,0).
Para resolver, vamos (i) encontrar os parâmetros (u,v) que geram esse ponto, (ii) calcular as derivadas parciais ru e rv, (iii) obter a normal via produto vetorial e (iv) usar a forma ponto-normal do plano.

Passo 2

Determinar
Analisando, a escolha e verifica e . Logo,

Passo 3

Calcular as derivadas parciais:
ru = partial rpartial u = 1,i + cos(v),j + vcos(u),k,
rv = partial rpartial v = 1,i - usin(v),j + sin(u),k
Em (u0,v0)=(1,0) temos cos(0)=1, sin(0)=0 e v0=0, então
ru(1,0) = (1,1,0), rv(1,0) = (1,0,sin(1))

Passo 4

O vetor normal ao plano é
n = ru(1,0)times rv(1,0) = i & j & k 1 & 1 & 0 1 & 0 & sin(1) = sin(1),i - sin(1),j -1,k

Passo 5

A forma ponto-normal do plano em (x0,y0,z0)=(1,1,0) é
ncdotl((x,y,z)-(1,1,0)r)=0
Substituindo n=(sin(1),-sin(1),-1) resulta
sin(1),(x-1)-sin(1),(y-1)-1,(z-0)=0
que simplifica para
z = sin(1),(x - y)

Resposta

z = sin(1),(x - y)

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