Determine a função vetorial e equações paramétricas para as superficies
A parte do Paraboloide Elíptico invertido z+3 x^2+y^2=12 que esta acima do círculo de raio 2 .

Passo 1

O enunciado pede a parte do paraboloide elíptico invertido \r
z + 3x^2 + y^2 = 12 \r
que está acima do círculo de raio 2 no plano xy, isto é, \r
x^2 + y^2 <= 4 \r
Vamos parametrizar essa superfície, encontrando uma função vetorial e escrevendo as equações paramétricas.

Passo 2

Isolamos z em função de x e y: \r
z = 12 - 3x^2 - y^2 \r
Isso mostra que cada ponto (x,y) no disco de raio 2 gera um ponto na superfície acima dele.

Passo 3

Escolhemos parâmetros (u,v) para varrer o disco u^2+v^2<=4. A parametrização vetorial fica então\r
r(u,v) = llang<= u,;v,;12 - 3u^2 - v^2rrang<=,\r
para (u,v) tal que u^2+v^2<=4.

Passo 4

As equações paramétricas correspondentes são\r
\r
com domínio

Passo 5

Como alternativa, podemos usar coordenadas polares no disco, definindo \r
\r
com e . A parametrização torna-se\r

Resposta

Função vetorial:\r
\r
\r
Equações paramétricas:\r

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