Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado.
x=u^{2}+1, \quad y=v^{3}+1, \quad z=u+v ; \quad(5,2,3)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície parametrizada por
x = u^{2}+1,\quad y = v^{3}+1,\quad z = u+v
no ponto (5,2,3). O conteúdo necessário envolve superfícies paramétricas e planos tangentes: primeiro identificamos os valores de (u,v) que geram esse ponto, depois calculamos os vetores tangentes \mathbf r_{u} e \mathbf r_{v}, em seguida obtemos o vetor normal via produto vetorial e, por fim, montamos a equação do plano.

Passo 2

Precisamos achar (u_{0},v_{0}) tal que
u_{0}^{2}+1 = 5,\quad v_{0}^{3}+1 = 2,\quad u_{0}+v_{0} = 3.
Da primeira: u_{0}^{2}=4 então u_{0}=\pm2.
Da segunda: v_{0}^{3}=1 então v_{0}=1.
Para satisfazer u_{0}+v_{0}=3 com v_{0}=1, deve ser u_{0}=2.
Logo (u_{0},v_{0})=(2,1).

Passo 3

Definindo o vetor de posição
\mathbf r(u,v) = \bigl(u^{2}+1,\;v^{3}+1,\;u+v\bigr),
suas derivadas parciais são
\mathbf r_{u}(u,v) = \bigl(2u,\;0,\;1\bigr), \quad \mathbf r_{v}(u,v) = \bigl(0,\;3v^{2},\;1\bigr).
Em (u_{0},v_{0})=(2,1) isso vale
\mathbf r_{u}(2,1) = (4,0,1), \quad \mathbf r_{v}(2,1) = (0,3,1).

Passo 4

O vetor normal ao plano tangente é dado por
\mathbf n = \mathbf r_{u}(2,1)\times \mathbf r_{v}(2,1) = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 4 & 0 & 1\\\\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} = (-3,\,-4,\,12).

Passo 5

A equação do plano tangente, usando \mathbf n=(A,B,C) e ponto (x_{0},y_{0},z_{0})=(5,2,3), é
A(x-x_{0}) + B(y-y_{0}) + C(z-z_{0}) = 0.
Substituindo A=-3, B=-4, C=12 e (x_{0},y_{0},z_{0}):
-3(x-5) \;-\;4(y-2)\;+\;12(z-3)\;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad -3x-4y+12z-13=0.
Podemos multiplicar por -1 para ficar mais “bonito”:
3x +4y -12z +13 = 0.

Resposta

3x +4y -12z +13 = 0

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