Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado. x=u^{2}+1, \quad y=v^{3}+1, \quad z=u+v ; \quad(5,2,3)
Passo 1
O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície parametrizada por
x = u^{2}+1,\quad y = v^{3}+1,\quad z = u+v
no ponto (5,2,3). O conteúdo necessário envolve superfícies paramétricas e planos tangentes: primeiro identificamos os valores de (u,v) que geram esse ponto, depois calculamos os vetores tangentes \mathbf r_{u} e \mathbf r_{v}, em seguida obtemos o vetor normal via produto vetorial e, por fim, montamos a equação do plano.
Da primeira: u_{0}^{2}=4 então u_{0}=\pm2.
Da segunda: v_{0}^{3}=1 então v_{0}=1.
Para satisfazer u_{0}+v_{0}=3 com v_{0}=1, deve ser u_{0}=2.
Logo (u_{0},v_{0})=(2,1).