Resolva os seguintes problemas de valor inicial (PVI):
y^{\prime}-3 y=e^{2 t}, \quad y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y' - 3y = e^{2t},\quad y(0)=2.
Este é um PVI linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que transforma a equação em uma derivada exata.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma padrão
y' + p(t)\,y = g(t),
onde aqui p(t) = -3 e g(t)=e^{2t}. O fator integrante é
\varphi(t) = \exp\Bigl(\int p(t)\,dt\Bigr) = \exp\bigl(\int -3\,dt\bigr) = e^{-3t}.
Multiplicando a equação original por \varphi(t), obtemos
e^{-3t}y' -3e^{-3t}y = e^{-3t}e^{2t} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dt}\bigl(e^{-3t}y\bigr) = e^{-t}.

Passo 3

Agora integramos os dois lados em relação a t:
\int \frac{d}{dt}\bigl(e^{-3t}y\bigr)\,dt = \int e^{-t}\,dt
e^{-3t}y = -e^{-t} + C,
onde C é constante de integração. Multiplicando por e^{3t}, chega-se à solução geral
y(t) = -e^{2t} + C\,e^{3t}.

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=2:
y(0) = -e^{0\cdot2} + C\,e^{0\cdot3} = -1 + C = 2 \quad\Longrightarrow\quad C = 3.
Substituindo em y(t), obtemos a solução particular.

Resposta

y(t) = 3e^{3t} - e^{2t}.

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