Determine uma equação do plano tangente à superfície z=3 y^2-x^2+x no ponto (2,1,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por z = 3y^2 - x^2 + x no ponto (2, 1, 3) . Estamos entrando no mundo de cálculo multivariável, mais especificamente trabalhando com derivadas parciais para encontrar planos tangentes. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a x e y no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente. Imagine que a superfície z = 3y^2 - x^2 + x é como uma montanha. O plano tangente é como uma rampa plana que toca essa montanha exatamente no ponto (2, 1, 3) sem cortar a montanha ali. Para encontrar essa rampa, precisamos usar as derivadas parciais da função.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y :
  • Derivada parcial em relação a x :
partial zpartial x = partialpartial x (3y^2 - x^2 + x) = -2x + 1
  • Derivada parcial em relação a y :
partial zpartial y = partialpartial y (3y^2 - x^2 + x) = 6y

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto (2, 1, 3) :
  • Para partial zpartial x em x = 2 :
partial zpartial x = -2(2) + 1 = -4 + 1 = -3
  • Para partial zpartial y em y = 1 :
partial zpartial y = 6(1) = 6

Passo 5

Com essas derivadas, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral para o plano tangente em um ponto (x0, y0, z0)) é:
z - z0 = partial zpartial x(x0, y0)(x - x0) + partial zpartial y(x0, y0)(y - y0)
Substituindo os valores que encontramos:
z - 3 = (-3)(x - 2) + 6(y - 1)

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto (2, 1, 3) é:
z = -3x + 6y + 3

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