Determine uma equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por
no ponto
. Estamos entrando no mundo de cálculo multivariável, mais especificamente trabalhando com derivadas parciais para encontrar planos tangentes. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente. Imagine que a superfície
é como uma montanha. O plano tangente é como uma rampa plana que toca essa montanha exatamente no ponto
sem cortar a montanha ali. Para encontrar essa rampa, precisamos usar as derivadas parciais da função.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
:
- Para
em :
- Para
em :
Passo 5
Com essas derivadas, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral para o plano tangente em um ponto
é:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto
é: