Exiba uma aproximção linear de z=f(x, y)=3 y^2-x^2+x nesse mesmo ponto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma aproximação linear da função z = f(x, y) = 3y^2 - x^2 + x em um ponto específico. Isso está relacionado ao estudo de funções de várias variáveis e envolve cálculo de derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar:
  • Calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y .
  • Avaliar essas derivadas no ponto dado.
  • Usar essas informações para montar a equação da aproximação linear.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber em qual ponto vamos fazer a aproximação linear. Como o enunciado menciona “nesse mesmo ponto” e não especifica qual é, vamos assumir que o ponto é (0, 0) . Se tiver outro ponto em mente, é só substituir aqui.

Passo 3

Vamos calcular o valor da função no ponto (0, 0) :
f(0, 0) = 3(0)^2 - (0)^2 + 0 = 0

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de f em relação a x e y .
  • Derivada parcial em relação a x :
fx(x, y) = partialpartial x (3y^2 - x^2 + x) = -2x + 1
  • Derivada parcial em relação a y :
fy(x, y) = partialpartial y (3y^2 - x^2 + x) = 6y

Passo 5

Vamos avaliar essas derivadas no ponto (0, 0) :
fx(0, 0) = -2(0) + 1 = 1
fy(0, 0) = 6(0) = 0

Passo 6

A aproximação linear L(x, y) da função no ponto (a, b) é dada por:
L(x, y) = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)
Substituindo a = 0 e b = 0 :
L(x, y) = 0 + 1 cdot (x - 0) + 0 cdot (y - 0) = x

Resposta

A aproximação linear de z = 3y^2 - x^2 + x no ponto (0, 0) é:
L(x, y) = x

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