Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
z=raizx-y, (5,1,2)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície
z = raizx - y
no ponto (5,1,2).
Conteúdo: para uma superfície dada por z = f(x,y), o plano tangente em (x0,y0,z0) é
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)
Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y)=raizx-y, avaliar no ponto dado e montar esse plano.

Passo 2

Primeiro, calculemos
fx(x,y) = partialpartial xl(x - yr)^1/2 = tfrac12,(x - y)^-1/2, fy(x,y) = partialpartial yl(x - yr)^1/2 = -tfrac12,(x - y)^-1/2
No ponto (x0,y0)=(5,1) temos x0 - y0 = 4 e raiz4=2, logo
fx(5,1) = tfrac12cdot12 = tfrac14, fy(5,1) = -tfrac12cdot12 = -tfrac14

Passo 3

Substituindo na fórmula do plano tangente em (5,1,2):
z - 2 = tfrac14,(x - 5) - tfrac14,(y - 1)
Multiplicando tudo por 4 para simplificar:
4(z - 2) = (x - 5) - (y - 1) ;Longrightarrow; 4z - 8 = x - y -4 ;Longrightarrow; x - y - 4z + 4 = 0

Resposta

A equação do plano tangente é
x - y - 4z + 4 = 0

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