Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
em torno do eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume de um sólido que é formado quando giramos a região delimitada pelas curvas
e
, no intervalo de
, em torno do eixo
. Vamos usar o conceito de cálculo de volumes por método dos discos ou anéis.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender qual das duas funções,
ou
, está acima da outra nesse intervalo de
a
.
Sabemos que:
- Quando
, e . - Quando
, .
Além disso, sabemos que
aumenta conforme
aumenta nesse intervalo, enquanto
diminui. Portanto, para
,
é maior que
.
Passo 3
Agora que sabemos qual função está acima, podemos usar o método dos anéis para calcular o volume. A fórmula para o volume
quando giramos em torno do eixo
é:
Onde:
-
é a função de maior valor (raio externo). -
é a função de menor valor (raio interno). -
e são os limites de integração.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso:
Então, temos:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da integral. Sabemos que:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Aplicando os limites de integração de
a
:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.