Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
y=sen x, y=cos x, 0 <= x <= pi / 4 ; em torno do eixo x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume de um sólido que é formado quando giramos a região delimitada pelas curvas y = sin x e y = cos x , no intervalo de 0 <= x <= pi4 , em torno do eixo x . Vamos usar o conceito de cálculo de volumes por método dos discos ou anéis.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual das duas funções, sin x ou cos x , está acima da outra nesse intervalo de 0 a pi4 .
Sabemos que:
  • Quando x = 0 , sin 0 = 0 e cos 0 = 1 .
  • Quando x = pi4 , sin pi4 = cos pi4 = raiz22 .
Além disso, sabemos que sin x aumenta conforme x aumenta nesse intervalo, enquanto cos x diminui. Portanto, para 0 <= x < pi4 , cos x é maior que sin x .

Passo 3

Agora que sabemos qual função está acima, podemos usar o método dos anéis para calcular o volume. A fórmula para o volume V quando giramos em torno do eixo x é:
V = pi integrala^b [R(x)]^2 - [r(x)]^2 , dx
Onde:
  • R(x) é a função de maior valor (raio externo).
  • r(x) é a função de menor valor (raio interno).
  • a e b são os limites de integração.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso:
  • R(x) = cos x
  • r(x) = sin x
  • a = 0
  • b = pi4
Então, temos:
V = pi integral0^pi4 [cos x]^2 - [sin x]^2 , dx

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral. Sabemos que:
cos^2 x - sin^2 x = cos 2x
Então, a integral fica:
V = pi integral0^pi4 cos 2x , dx

Passo 6

Agora, vamos integrar cos 2x em relação a x :
integral cos 2x , dx = 12 sin 2x + C
Aplicando os limites de integração de 0 a pi4 :
V = pi [ 12 sin 2x ]0^pi4 = pi ( 12 sin ( pi2 ) - 12 sin 0 )
Sabemos que sin pi2 = 1 e sin 0 = 0 , então:
V = pi ( 12 cdot 1 - 0 ) = pi2

Resposta

O volume do sólido é pi2 unidades cúbicas.

Exercícios relacionados