Use a integração por partes para provar que: ( 2,0 pontos)
integral x^n e^x d x=x^n e^n-n integral x^n-1 e^x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que a integral de x^n e^x em relação a x é igual a x^n e^x - n vezes a integral de x^n-1 e^x em relação a x. Isso envolve o conteúdo de integração por partes, que é uma técnica de cálculo usada para integrar o produto de duas funções. Vamos precisar lembrar da fórmula da integração por partes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, u e dv são partes da nossa função original que vamos escolher de forma estratégica para facilitar a integração.

Passo 3

Agora, vamos identificar as partes u e dv na nossa integral integral x^n e^x dx . Uma boa escolha é:
u = x^n e dv = e^x dx
Essa escolha facilita porque a derivada de u será uma função mais simples, e a integral de dv é direta.

Passo 4

Vamos calcular du e v a partir das escolhas que fizemos:
du = ddx(x^n) dx = n x^n-1 dx
v = integral e^x dx = e^x

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo as partes que encontramos:
integral x^n e^x dx = x^n e^x - integral e^x cdot n x^n-1 dx

Passo 6

Finalmente, simplificamos a expressão:
integral x^n e^x dx = x^n e^x - n integral x^n-1 e^x dx

Resposta

Prova concluída! Demonstramos que:
integral x^n e^x dx = x^n e^x - n integral x^n-1 e^x dx

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