Use a integração por partes para provar que: ( 2,0 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que a integral de
em relação a
é igual a
vezes a integral de
em relação a
. Isso envolve o conteúdo de integração por partes, que é uma técnica de cálculo usada para integrar o produto de duas funções. Vamos precisar lembrar da fórmula da integração por partes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes. A fórmula é:
Aqui,
e
são partes da nossa função original que vamos escolher de forma estratégica para facilitar a integração.
Passo 3
Agora, vamos identificar as partes
e
na nossa integral
. Uma boa escolha é:
Essa escolha facilita porque a derivada de
será uma função mais simples, e a integral de
é direta.
Passo 4
Vamos calcular
e
a partir das escolhas que fizemos:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo as partes que encontramos:
Passo 6
Finalmente, simplificamos a expressão:
Resposta
Prova concluída! Demonstramos que: