Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
z=x e^x y em (1,1,1);

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície
z = x e^x y
e pede a equação do plano tangente no ponto (1,1,1). O conteúdo que vamos usar é cálculo de derivadas parciais de f(x,y)=x e^x y e a fórmula do plano tangente para superfícies do tipo z=f(x,y):
z - z0 = fx(x0,y0),(x-x0) + fy(x0,y0),(y-y0)

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de f em relação a x. Usando regra do produto e cadeia,
fx = partialpartial xl(x e^x yr) = e^x y + x,e^x ycdot y = e^x y(1 + x y)

Passo 3

Agora calculamos a derivada parcial de f em relação a y. Aqui x é constante, logo
fy = partialpartial yl(x e^x yr) = x,e^x ycdot x = x^2 e^x y

Passo 4

Avaliamo-las no ponto (x0,y0)=(1,1):
fx(1,1) = e^1cdot1(1 + 1cdot1) = ecdot2 = 2e, fy(1,1) = 1^2 e^1cdot1 = e

Passo 5

Substituímos em
z - z0 = fx(1,1),(x-1) + fy(1,1),(y-1),
com z0=1. Assim
z - 1 = 2e,(x-1) + e,(y-1)

Resposta

boxed,z - 1 = 2e,(x-1) + e,(y-1),

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