Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
z=x^2+3 x y-y^2 em(1,1,3);

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície
z = x^2 + 3xy - y^2
no ponto (1,1,3).
Para isso vamos usar cálculo diferencial em duas variáveis: o plano tangente a z=f(x,y) em (x0,y0,z0) é dado por
z - z0 = fx(x0,y0),(x-x0) + fy(x0,y0),(y-y0)

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^2+3xy-y^2:
fx(x,y) = partialpartial x(x^2+3xy-y^2) = 2x + 3y,
fy(x,y) = partialpartial y(x^2+3xy-y^2) = 3x - 2y

Passo 3

Avaliar as derivadas no ponto (x0,y0)=(1,1):
fx(1,1) = 2cdot1 + 3cdot1 = 5,
fy(1,1) = 3cdot1 - 2cdot1 = 1

Passo 4

Substituindo em
z - z0 = fx(1,1),(x-1) + fy(1,1),(y-1),
com z0=3, obtemos
z - 3 = 5,(x-1) + 1,(y-1) ;Longrightarrow; z - 3 = 5x - 5 + y - 1 ;Longrightarrow; z = 5x + y - 3

Resposta

A equação do plano tangente é
z = 5x + y - 3

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