y^prime prime+2 y^prime+k y=0
k>4.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem linear homogênea com coeficientes constantes
y'' + 2y' + k,y = 0,
onde está especificado que k>4. Para resolver, vamos empregar o método do polinômio característico e, em seguida, interpretar o caso em que as raízes sejam complexas.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^r t. Substituindo na EDO, obtemos o polinômio característico
r^2 + 2r + k = 0
As raízes são
r = -2 pm raiz4 - 4k2 = -1 pm raiz1 - k
Como k>4, temos 1-k<0, de modo que
raiz1-k = i,raizk-1
e, portanto, as raízes formam um par de complexas conjugadas
r1,2 = -1 pm i,raizk-1

Passo 3

Quando as raízes do característico são r = alpha pm ibeta, a solução geral real é dada por
y(t) = e^alpha tl(C1cos(beta t) + C2sin(beta t)r)
Aqui alpha = -1 e beta = raizk-1. Logo a solução tem decaimento exponencial modulado por oscilações senoidais.

Resposta

y(t) = e^-tl(C1cosl(raizk-1,tr) + C2sinl(raizk-1,tr)r),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias de integração.

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