y^prime prime+2 y^prime+k y=0
k>1 / 4.

Passo 1

O problema é resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y' + k,y = 0,
sob a hipótese de que k>1/4.
Conteúdo: equações lineares com coeficientes constantes e raízes complexas do polinômio característico.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico associado:
r^2 + r + k = 0

Passo 3

Calculamos as raízes usando a fórmula de Bhaskara:
r = -1 pm raiz1 - 4k2
Como k>1/4, temos 1 - 4k < 0, isto é, as raízes são complexas conjugadas.

Passo 4

Escrevemos a parte imaginária positiva como
omega = raiz4k - 12,
e a parte real é -tfrac12. Logo as raízes são
r1,2 = -12 pm i,omega

Passo 5

Para raízes r = alpha pm iomega a solução geral fica
y(t) = e^alpha tl(C1cos(omega t) + C2sin(omega t)r)
Aqui alpha = -tfrac12 e omega = tfracraiz4k-12.

Resposta

boxed y(t) = e^-t/2l(C1cosl(raiz4k-12,tr) +C2sinl(raiz4k-12,tr)r), k> tfrac14

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