Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
x^24+y^2+z^29=3 em(-2,1,-3);

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície
x^24+y^2+z^29=3
no ponto (-2,1,-3). O conteúdo envolve superfícies definidas implicitamente e o uso do gradiente para obter o vetor normal do plano tangente.

Passo 2

Definimos a função implícita
F(x,y,z)=x^24+y^2+z^29-3
O gradiente de F é dado por
nabla F(x,y,z) =l(partial Fpartial x,,partial Fpartial y,,partial Fpartial zr) =l(x2,,2y,,2z9r)

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente no ponto P=(-2,1,-3):
nabla F(-2,1,-3) =l(tfrac-22,,2cdot1,,tfrac2cdot(-3)9r) =(-1,,2,,-tfrac23)

Passo 4

A equação do plano tangente em P é
nabla F(P)cdotl((x,y,z)-(-2,1,-3)r)=0,
isto é,
-1,(x+2)+2,(y-1)-tfrac23,(z+3)=0

Passo 5

Para simplificar, multiplicamos ambos os lados por 3:
-3(x+2)+6(y-1)-2(z+3)=0
Longrightarrow -3x-6+6y-6-2z-6=0
Longrightarrow -3x+6y-2z-18=0
ou, multiplicando por -1,
3x-6y+2z+18=0

Resposta

A equação do plano tangente é
3x-6y+2z+18=0

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