Resolva as seguintes equações diferenciais lineares homogêneas, explicitamente y=f(x).
y^prime prime+2 y=0

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
y'' + 2y = 0
O conteúdo envolvido é o método da equação característica, que busca soluções da forma exp(r x).

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo
y = e^r x
Substituindo em y'' + 2y = 0 temos
r^2 e^r x + 2 e^r x = 0
e, como e^r x neq 0, a equação característica é
r^2 + 2 = 0

Passo 3

Resolvendo a característica:
r^2 = -2 Longrightarrow r = pm iraiz2
As raízes são complexas conjugadas, com parte real zero e parte imaginária pmraiz2.

Passo 4

Para raízes r = 0 pm iraiz2, a solução geral da EDO é
y(x) = C1 e^0cdot xcos(raiz2,x) ;+; C2 e^0cdot xsin(raiz2,x),
ou seja
y(x) = C1cos(raiz2,x) ;+; C2sin(raiz2,x),
onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

y(x) = C1cos(raiz2,x) + C2sin(raiz2,x)

Exercícios relacionados