Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
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Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície
z = raiz17 - x^2 - y^2
no ponto (2,-2,3). O conteúdo envolvido é derivadas parciais e a fórmula do plano tangente para superfícies dadas por z=f(x,y).

Passo 2

Primeiro conferimos que o ponto está na superfície:
f(2,-2) = raiz17 - 2^2 - (-2)^2 = raiz17 - 4 - 4 = raiz9 = 3,
logo (2,-2,3) pertence à superfície.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y) = (17 - x^2 - y^2)^1/2. Usando a regra da cadeia,
fx = 12(17 - x^2 - y^2)^-1/2cdot(-2x) = -xraiz17 - x^2 - y^2,
fy = -yraiz17 - x^2 - y^2

Passo 4

Em (2,-2) temos
fx(2,-2) = -23, fy(2,-2) = --23 = 23

Passo 5

A fórmula do plano tangente é
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)
Substituindo (x0,y0,z0)=(2,-2,3) e as dérivadas,
z - 3 = -23(x - 2) + 23(y + 2)
Multiplicando por 3 e reorganizando, obtemos a forma geral.

Resposta

2x - 2y + 3z - 17 = 0

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