Questão 17

Mostre pela definição que X=x in R+^n: A x=b, x >= 0 é convexo.

Passo 1

O enunciado define
X = ,xin R+^n mid A x = b,; x>= 0
e pede para mostrar que X é convexo. Vamos usar a definição: um conjunto X é convexo se, para quaisquer x,yin X e qualquer lambdain [0,1], o ponto
z = lambda x + (1-lambda),y
também pertence a X.

Passo 2

Sejam x,yin X e lambdain[0,1]. Defina
z = lambda x + (1-lambda),y
Como x,yin X, vale A x = b e A y = b, e também x>= 0, y>= 0. Então:
  1. (Linha de igualdade)
A z = A(lambda x + (1-lambda)y) = lambda,A x + (1-lambda),A y = lambda b + (1-lambda)b = b
  1. (Não-negatividade) Para cada coordenada i vale
zi = lambda xi + (1-lambda)yi >= 0,
pois xi>=0, yi>=0 e lambda,,(1-lambda)>=0.
Logo z satisfaz A z = b e z>=0, ou seja, zin X.

Passo 3

Vimos que para quaisquer x,yin X e lambdain[0,1] o ponto z=lambda x+(1-lambda)y permanece em X. Pela definição de conjunto convexo, concluímos que X é convexo.

Resposta

X é convexo.

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