Usando a regra da cadeia determine partial zpartial s e partial zpartial t. z=(x-y)^5 com x=s^2 t+1 e y=s t^2-1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar as derivadas parciais de z = (x - y)^5 em relação a x = s^2 t + 1 e y = s t^2 - 1 . O enunciado nos dá que:
com
Vamos precisar usar a Regra da Cadeia para calcular essas derivadas, já que depende de e , que por sua vez dependem de e .

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas parciais de partial zpartial x = 5(x - y)^4 cdot 1 em relação a partial zpartial y = 5(x - y)^4 cdot (-1) e . Usando a regra da potência:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de partial xpartial s = 2s t e partial xpartial t = s^2 em relação a partial ypartial s = t^2 e partial ypartial t = 2s t :
Para :
Para :

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia para encontrar partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s e partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t :

Passo 5

Substituindo as derivadas que já calculamos:
partial zpartial s = 5(x - y)^4 cdot 2s t + (-5(x - y)^4) cdot t^2
partial zpartial t = 5(x - y)^4 cdot s^2 + (-5(x - y)^4) cdot 2s t

Passo 6

Simplificando as expressões:
partial zpartial s = 10s t (x - y)^4 - 5 t^2 (x - y)^4
partial zpartial t = 5 s^2 (x - y)^4 - 10s t (x - y)^4

Passo 7

Fatorando partial zpartial s = (10s t - 5 t^2) (x - y)^4 nas duas expressões:
partial zpartial t = (5 s^2 - 10s t) (x - y)^4

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial s = (10s t - 5 t^2) (x - y)^4
partial zpartial t = (5 s^2 - 10s t) (x - y)^4

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